Aula 6 - Álgebra II

Designemos por x (a que chamaremos a indeterminada x) o polinómio

(0, 1, 0, 0, …).

É evidente que x^{2} = (0, 0, 1, 0, …), x^{3} = (0, 0, 0, 1, 0, …), etc. Alargamos esta observação ao caso n = 0, convencionando x^{0} = (1, 0, 0, …) = 1.

Mais geralmente, se p = (p_{0}, p_{1}, …, p_{n}, 0, 0, …) é um polinómio arbitrário de grau n, o produto px é o polinómio de grau n+1 que se obtém de p por translação de todos os seus coeficientes para a direita, ou seja

px = (0, p_{0}, p_{1}, …, p_{n}, 0, 0, …),

porque

(px)_{0} = p_{0}x_{0} = 0,

(px)_{i+1} = ∑_{j=0}^{i+1} p_{j}x_{i+1−j} = p_{i}.

Então, identificando (como na aula anterior) cada polinómio constante a pelo correspondente elemento a de A, podemos finalmente obter a forma a que estávamos habituados para representar um polinómio:

p = (p_{0}, p_{1}, …, p_{n}, 0, 0, …)
= (p_{0}, 0, 0, …) + (0, p_{1}, 0, 0, …) + (0, 0, p_{2}, 0, 0, …) + ⋯ + (0, …, 0, p_{n}, 0, 0, …)
= p_{0} + p_{1}x + p_{2}x^{2} + ⋯ + p_{n}x^{n}
= ∑_{i=0}^{n} p_{i}x^{i}.

A soma à direita é a forma canónica do polinómio p. Como é habitual, um coeficiente é omitido se for igual a 1.

Temos assim duas formas perfeitamente equivalentes de representar os elementos de A[x]: como sucessões

p = (p_{0}, p_{1}, …, p_{n}, 0, 0, …)

ou como somas formais

p = p_{0} + p_{1}x + p_{2}x^{2} + ⋯ + p_{n}x^{n} = ∑_{i=0}^{n} p_{i}x^{i}. (∗)

Chama-se a (∗) a forma canónica do polinómio p.

     [Confirme:  em termos da forma canónica, as operaç~ oes + e ⋆ do
       anel A[x] correspondem exactamente às operaç~ oes de polinómios
                                        a que estávamos habituados]

Portanto, para somar e multiplicar estes polinómios, procedemos exactamente como estamos habituados com os polinómios com coeficientes reais.

Exemplo: Em ℤ_{4}[x], para p = 1 + x + 2x^{2} e q = 1 + 2x^{2}, temos:

p + q = (1 + x + 2x^{2}) + (1 + 2x^{2})
= (1 + 1) + (1 + 0)x + (2 + 2)x^{2}
= 2 + x,
pq = (1 + x + 2x^{2})(1 + 2x^{2})
= (1 + x + 2x^{2})1 + (1 + x + 2x^{2})2x^{2}
= (1 + x + 2x^{2}) + (2x^{2} + 2x^{3} + 0x^{4})
= 1 + x + 2x^{3}.

GRAU Se p ≠ 0 é um polinómio, o grau de p é o inteiro gr(p) definido por

gr(p) = max{n ∈ ℕ_{0} | p_{n} ≠ 0}.

Se p = 0, convencionamos que gr(p) = −∞.

Um polinómio p de grau n ≥ 0 diz-se mónico se o coeficiente p_{n} do termo de maior grau for igual a 1.

Assim, os polinómios constantes têm grau ≤ 0. O exemplo acima de produto de polinómios em ℤ_{4}[x] mostra que, por causa da possível existência de divisores de zero, nem sempre o grau do produto de dois polinómios é a soma dos graus dos polinómios factores. O próximo resultado esclarece completamente as propriedades do grau relativamente à soma e ao produto de polinómios. Para evitar frequentes excepções envolvendo o polinómio nulo, convencionamos que gr(p) + gr(q) = −∞ sempre que p = 0 ou q = 0.

Proposição. Sejam p, q ∈ A[x]. Então:

(a) gr(p + q) ≤ max{gr(p), gr(q)}.

(b) gr(pq) ≤ gr(p) + gr(q).

(c) Se A é um domínio de integridade, gr(pq) = gr(p) + gr(q).

Demonstração. A prova de (a) é muito simples e deixa-se como exercício. Quanto a (b) e (c) basta observar o seguinte: se p é de grau n e q é de grau m, então pq = p_{0}q_{0} + (p_{0}q_{1} + p_{1}q_{0})x + ⋯ + p_{n}q_{m}x^{n+m}, pelo que gr(pq) ≤ n + m = gr(p) + gr(q); não existindo divisores de zero em A, tem-se necessariamente p_{n}q_{m} ≠ 0, donde, neste caso, gr(pq) = n + m = gr(p) + gr(q).

Quais são as unidades de A[x]? Se A possui divisores de zero, A[x] contém polinómios invertíveis de grau maior que zero — por exemplo, em ℤ_{4}[x],

(1 + 2x)(1 + 2x) = 1;

no entanto, se A é um domínio de integridade, as unidades de A[x] são precisamente os polinómios de grau zero, p = a, onde a é uma unidade de A; então, se A é um corpo, as unidades de A[x] são os polinómios de grau zero.

      [Verifique:  se A é um domínio de integridade, as unidades de
                               A[x] coincidem com as unidades de A]

Vamos agora estudar em pormenor o anel dos polinómios A[x]. Na base deste estudo está o algoritmo usual da divisão de polinómios de coeficientes reais. Será que podemos continuar a aplicá-lo num anel A arbitrário? Daqui em diante passamos a adoptar a seguinte convenção: o polinómio p é representado pelo símbolo p(x), e o valor do polinómio p no ponto a é representado por p(a). Continuamos a supor que A é um anel comutativo unitário.

Seja A = ℤ_{6}. A divisão de p(x) = x^{4} +2x^{3} +3x^{2} +x+4 por d(x) = x^{2} +2x+2 é possível, resultando no quociente q(x) = x^{2} + 1, com resto r(x) = 5x + 2:

x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + x + 4  x^{2} + 2x + 2 −x^{4} − 2x^{3} − 2x^{2} x^{2} + x + 4 −x^{2} − 2x − 2 5x + 2  x^{2} + 1

É claro que se o coeficiente d_{2} de d(x) fosse 2 a divisão já não seria possível: não existe nenhum elemento q_{2} em ℤ_{6} tal que 2q_{2} = 1 para podermos prosseguir com o algoritmo! (Tudo porque 2, sendo um divisor de zero, não é invertível.) Quando o polinómio divisor é mónico ou A é um domínio de integridade, a divisão é sempre possível. Mais geralmente:

Teorema. [Algoritmo de Divisão] Sejam p(x) e d(x) ≠ 0 elementos de A[x], de graus n e m, respectivamente. Se d_{m} é uma unidade de A então existem polinómios únicos q(x) e r(x), com gr(r(x)) < gr(d(x)), tais que p(x) = q(x)d(x) + r(x).

Demonstração. \underline{Existência}: O caso n < m é evidente: podemos tomar q(x) = 0 e r(x) = p(x).

Suponhamos então n ≥ m. Demonstramos a existência de q(x) e r(x) por indução sobre n:

• Se n = 0 então m = 0. Portanto d(x) = d_{0} e d_{0} é invertível pelo que bastará tomar q(x) = d_{0}^{−1}p(x) e r(x) = 0.

• Vamos agora supor que o resultado é verdadeiro para qualquer polinómio de grau inferior a n. Precisamos de provar que ele também é válido para polinómios de grau n. Seja então p(x) = p_{n}x^{n} + p_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + p_{1}x + p_{0}, onde p_{n} ≠ 0 e comecemos a fazer a divisão de p(x) por d(x):

p_{n}x^{n} + p_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + p_{1}x + p_{0}  d_{m}x^{m} + d_{m−1}x^{m−1} + ⋯ + d_{1}x + d_{0} −p_{n}x^{n} − p_{n}d_{m}^{−1}d_{m−1}x^{n−1} − ⋯ \underbrace{(p_{n−1} − p_{n}d_{m}^{−1}d_{m−1})x^{n−1} + ⋯}_{p̃(x)}  p_{n}d_{m}^{−1}x^{n−m}

Considerando agora o polinómio p̃(x) = p(x) − p_{n}d_{m}^{−1}x^{n−m}d(x), é claro que gr(p̃(x)) < n, logo, pela hipótese de indução, existem polinómios q̃(x) e r̃(x) satisfazendo p̃(x) = q̃(x)d(x) + r̃(x), onde gr(r̃(x)) < gr(d(x)). Então

p(x) = p_{n}d_{m}^{−1}x^{n−m}d(x) + p̃(x) = (\underbrace{p_{n}d_{m}^{−1}x^{n−m} + q̃(x)}_{q(x)})d(x) + \underbrace{r̃(x)}_{r(x)} .

\underline{Unicidade}: Se p(x) = q_{1}(x)d(x) + r_{1}(x) = p(x) = q_{2}(x)d(x) + r_{2}(x), então (q_{1}(x) − q_{2}(x))d(x) = r_{2}(x) − r_{1}(x). Se q_{2}(x) é diferente de q_{1}(x) obtém-se uma contradição analisando os graus dos polinómios: por um lado,

gr(r_{2}(x) − r_{1}(x)) ≤ max{gr(r_{1}(x)), gr(r_{2}(x))} < gr(d(x)),

mas, por outro lado,

gr(r_{2}(x) − r_{1}(x)) = gr((q_{1}(x) − q_{2}(x))d(x))
= gr(q_{1}(x) − q_{2}(x)) + gr(d(x)) (pois d_{m} não é div. de zero)
≥ gr(d(x)).

Assim q_{1}(x) = q_{2}(x), o que implica imediatamente r_{1}(x) = r_{2}(x).

Tal como no caso dos inteiros, os polinómios q(x) e r(x) dizem-se respectivamente quociente e resto da divisão de p(x) por d(x). O caso em que r(x) = 0 corresponde, claro está, ao caso em que d(x) é divisor (ou factor) de p(x). Neste caso escrevemos d(x)|p(x).