Aula 7 - Álgebra II

O argumento de prova da existência, no teorema anterior (Algoritmo de Divisão), pode ser facilmente transformado num algoritmo de cálculo do quociente e do resto (onde, dado um polinómio p(x) = p_{n}x^{n} + p_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + p_{0}, de grau n, designamos por p^{top}(x) = p_{n}x^{n} o termo de grau máximo):

ALGORITMO DA DIVISÃO Dados: p(x) = p_{n}x^{n} + p_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + p_{0}, d(x) = d_{m}x^{m} + d_{m−1}x^{m−1} + ⋯ + d_{0} tal que d_{m} é invertível. Para dividir p(x) por d(x) procede-se por iteração, do seguinte modo: Começando com q_{0}(x) = 0 e r_{0}(x) = p(x), faz-se em cada passo

q_{i}(x) = q_{i−1}(x) + d_{m}^{−1} \frac{r_{i−1}^{top}(x)}{x^{m}}, r_{i}(x) = r_{i−1}(x) − d_{m}^{−1} \frac{r_{i−1}^{top}(x)}{x^{m}}d(x) :

p_{n}x^{n} + p_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + p_{1}x + p_{0}  d_{m}x^{m} + d_{m−1}x^{m−1} + ⋯ + d_{1}x + d_{0} −p_{n}x^{n} − d_{m}^{−1}p_{n}d_{m−1}x^{n−1} − ⋯ r_{1}(x) :  (p_{n−1} − d_{m}^{−1}p_{n}d_{m−1})x^{n−1} + ⋯ −(p_{n−1} − d_{m}^{−1}p_{n}d_{m−1})x^{n−1} + ⋯ r_{2}(x) :  ⋯ ⋮  ⋮ r_{i}(x) :  ⋯  \underbrace{\underbrace{\underbrace{d_{m}^{−1}p_{n}x^{n−m}}_{q_{1}(x)} +d_{m}^{−1}(p_{n−1} − d_{m}^{−1}p_{n}d_{m−1})x^{n−m−1}}_{⋮^{q_{2}(x)}} + ⋯}_{q_{i}(x)}

A iteração termina quando gr(r_{i}(x)) < m. Então faz-se r(x) = r_{i}(x) e q(x) = q_{i}(x).

   [Observe:  a analogia entre o algoritmo da divis~ ao nos anéis A[x]
                                     e o algoritmo da divis~ ao em ℤ]

O resultado seguinte é um corolário imediato do Algoritmo de Divisão:

Corolário 1. Seja C um corpo. Para quaisquer p(x) e d(x) ≠ 0 em C[x], existem polinómios únicos q(x) e r(x) tais que p(x) = q(x)d(x) + r(x), com gr(r(x)) < gr(d(x)).

Observámos na Aula 5 que não é de todo conveniente definir os polinómios com coeficientes em A como funções de determinado tipo, com domínio e valores em A. No entanto, nada nos impede de definir funções de A em A a partir de polinómios em A[x].

FUNÇÃO POLINOMIAL Se p(x) = ∑_{i=0}^{n} p_{i}x^{i} é um polinómio em A[x], a função p : A → A definida por p(a) = ∑_{i=0}^{n} p_{i}a^{i} diz-se função polinomial associada a p(x).

Exemplo: Seja A = ℤ_{2} e p(x) = 1 + x + x^{2}. A função polinomial associada ao polinómio p(x) é p : ℤ_{2} → ℤ_{2} dada por p(a) = 1 + a + a^{2}, para qualquer a ∈ ℤ_{2}. Neste caso, temos p(0) = p(1) = 1, e portanto p é uma função constante, apesar de p(x) não ser um polinómio constante. Em particular, se q(x) = 1, temos p(x) ≠ q(x) e p = q.

O resultado seguinte é outro corolário do Algoritmo de Divisão.

Corolário 2. [Teorema do resto] Se p(x) ∈ A[x] e a ∈ A, o resto da divisão de p(x) por (x − a) é o polinómio constante r(x) = p(a). Portanto, p(x) é um múltiplo de (x − a) se e só se p(a) = 0.

Demonstração. Como (x − a) é mónico, podemos realizar a divisão de p(x) por (x − a), obtendo p(x) = q(x)(x − a) + r(x) com gr(r(x)) < 1 (ou seja, r(x) é um polinómio constante r(x) = b). Então a identidade de polinómios p(x) = q(x)(x − a) + b implica p(a) = b, donde r(x) = p(a).

RAIZ DE UM POLINÓMIO Um elemento a ∈ A diz-se raiz de um polinómio p(x) = ∑_{i=0}^{n} p_{i}x^{i} de A[x] caso p(a) = 0. Portanto, p(x) é um múltiplo de (x − a) se e só se a é uma raiz de p(x).

Outra das consequências do Algoritmo de Divisão (ou mais directamente do Corolário 2) é o resultado clássico sobre o número máximo de raízes de um polinómio não-nulo, que é válido quando A é um domínio de integridade.

Proposição. Seja D um domínio de integridade. Se p(x) ∈ D[x] e gr(p(x)) = n ≥ 0 então p(x) tem no máximo n raízes em D.

Demonstração. Faremos uma demonstração por indução sobre n. O caso n = 0 é óbvio: p(x) será um polinómio constante não-nulo pelo que não terá raízes em D.

Suponhamos agora, por hipótese de indução, que o resultado vale para qualquer polinómio de grau n. Nessas condições, seja p(x) um polinómio de grau n + 1. Se p(x) não tiver raízes em D, não há nada a provar. Caso contrário, se tem uma raiz a ∈ D então, pelo Corolário 2, p(x) = q(x)(x − a). Como D é um domínio de integridade, gr(q(x)) = n. Logo, pela hipótese de indução, q(x) tem no máximo n raízes. Isto implica que p(x) tem no máximo n + 1 raízes (porque se b ≠ a é raiz de p(x) então é raiz de q(x) pois 0 = p(b) = q(b)(b − a) implica q(b) = 0).

Mas cuidado: no caso geral em que A não é um domínio de integridade, não há relação nenhuma entre o número de raízes e o grau do polinómio. Por exemplo, em ℤ_{4}[x], o polinómio 2x + 2x^{2} é de grau 2 mas tem 4 raízes: 0, 1, 2 e 3. Por outro lado, 1 + x^{2} é de grau 3 mas só tem uma raiz: 3.

MULTIPLICIDADE DA RAIZ Seja D um domínio de integridade. Se a ∈ D é raiz de um polinómio p(x) ≠ 0 de D[x], o maior natural m tal que p(x) é múltiplo de (x−a)^{m} diz-se a multiplicidade da raiz a.

     [Exercício:  Prove que a soma das multiplicidades das raízes de

p(x) é ≤ gr(p(x))]

Exemplos: 1 + x^{2} é de grau 2 e não tem raízes em ℝ (e, por maioria de razão, em ℚ e ℤ). Em ℂ tem exactamente 2 raízes, i e −i, de multiplicidade 1. 1 − 2x + 2x^{2} − 2x^{3} + x^{4} é de grau 4 e tem exactamente uma raiz em ℝ, 1, de multiplicidade 2. Por outro lado, em ℂ tem exactamente 3 raízes (1, i e −i), sendo a primeira de multiplicidade 2 e as outras de multiplicidade 1 (portanto, neste caso a soma das multiplicidades iguala o grau do polinómio).

    [No próximo capítulo analisaremos melhor esta diferença entre os
    corpos ℂ e ℝ:  em ℂ[x] a soma das multiplicidades das raízes de
    qualquer polinómio de grau n é exactamente n; em ℝ[x] a soma das
      multiplicidades das raízes de qualquer polinómio de grau n n~ ao
                                 excede n, podendo ser menor que n]
                     [Dir-se-à que ℂ é, ao contrário de ℝ, um corpo
                                           algebricamente fechado]