Aula 8 - Álgebra II

O facto de, no caso de A ser um corpo, o algoritmo da divisão em A[x] ser sempre aplicável, tem, como em ℤ, outra consequência importante:

Teorema. Seja C um corpo. Em C[x] todo o ideal é principal.

Demonstração. Seja I um ideal de C[x]. Se I = {0}, então I = (0) é um ideal principal. Podemos pois admitir que I ≠ {0}. Neste caso, provaremos mais do que é exigido no enunciado do resultado, nomeadamente que existe um polinómio \underline{mónico} m(x) ∈ C[x], \underline{único}, tal que I = (m(x)).

Consideremos então o conjunto

N = {n ∈ ℕ_{0} | existe s(x) ∈ I, gr(s(x)) = n}.

É claro que, como I ≠ {0}, N é não-vazio, pelo que tem um mínimo. Seja m(x)um polinómio em I de grau igual a esse mínimo (podemos supor que m(x) é mónico; com efeito, se não fosse, isto é, se o coeficiente do termo de maior grau fosse igual a a ≠ 1, poderíamos sempre considerar o polinómio n(x) = a^{−1}m(x) ∈ I).

Provemos que I = (m(x)). Como m(x) ∈ I, é óbvio que (m(x)) ⊆ I. Por outro lado, se p(x) ∈ I, usando o algoritmo de divisão temos p(x) = q(x)m(x) + r(x), onde gr(r(x)) < gr(m(x)). Dado que I é um ideal, podemos concluir que r(x) = p(x) − q(x)m(x) ∈ I. Mas então r(x) só pode ser igual a 0 pois, com excepção do polinómio nulo, não pode haver nenhum polinómio em I de grau inferior a gr(m(x)). Assim, p(x) é um múltiplo de m(x) pelo que pertence ao ideal (m(x)).

Para provar a unicidade de m(x), suponhamos I = (n(x)), onde n(x) ∈ C[x] é mónico. Da igualdade (m(x)) = (n(x)) segue

\{ \begin{matrix}m(x) = p_{1}(x) n(x) \\ n(x) = p_{2}(x) m(x) \end{matrix} (∗)

para alguns polinómios p_{1}(x), p_{2}(x), donde m(x) = p_{1}(x)p_{2}(x)m(x). Como C[x] é um domínio de integridade, podemos cancelar m(x) ≠ 0 à esquerda e concluir que p_{1}(x)p_{2}(x) = 1.

           [Num domínio de integridade, a lei do cancelamento para o
   produto vale para elementos ≠ 0:  se ba = ca ou ab = ac, com a ≠ 0,

ent~ ao b = c (pois ba = ca ⇔ (b − c)a = 0 ⇒ b − c = 0 ⇔ b = c)]

Então gr(p_{1}(x))+gr(p_{2}(x)) = 0 e, consequentemente, p_{1}(x) e p_{2}(x) são polinómios constantes. Como m(x) e n(x) são mónicos, então de (∗) segue p_{1}(x) = p_{2}(x) = 1 e n(x) = m(x).

                [Observe mais esta analogia entre os anéis C[x] e ℤ:
               C[x] é, tal como ℤ, um domínio de ideais principais]

Exemplos: ℤ[x] não é um domínio de ideais principais; por exemplo, o ideal (2, x) não é principal.

                                                        [Verifique]

Mais geralmente, se A é um anel comutativo com identidade, a demonstração acima de que um ideal I de A[x] é principal consegue fazer-se desde que o coeficiente do termo de maior grau do polinómio m(x) (que agora não é necessariamente mónico) seja invertível em A. Este não é o caso do ideal (2, x) em ℤ[x]: qualquer polinómio m(x) ∈ (2, x) de grau mínimo é uma constante ≠ 1, −1.

Corolário. Sejam p_{1}(x), …, p_{n}(x) polinómios em C[x], onde pelo menos um é não-nulo. Então existe um único polinómio mónico d(x) ∈ C[x] tal que:

(1) d(x) | p_{i}(x) (i = 1, 2, …, n).

(2) Se c(x) ∈ C[x] e c(x) | p_{i}(x) (i = 1, 2, …, n) então c(x) | d(x).

Além disso, d(x) pode ser escrito na forma

d(x) = r_{1}(x)p_{1}(x) + ⋯ + r_{n}(x)p_{n}(x) (∗)

com r_{1}(x), …, r_{n}(x) ∈ C[x].

Demonstração. Consideremos o ideal (p_{1}(x), …, p_{n}(x)), que é não-nulo. Pela demonstração do Teorema, existe um polinómio mónico d(x), único, tal que

(p_{1}(x), …, p_{n}(x)) = (d(x)).

Como cada p_{i}(x) ∈ (d(x)), a condição (1) é óbvia, enquanto (∗) é consequência imediata do facto de d(x) pertencer a (p_{1}(x), …, p_{n}(x)). Quanto a (2), é consequência de (∗).

Por outras palavras, d(x) é um divisor comum de p_{1}(x), …, p_{n}(x), e é múltiplo de qualquer outro divisor comum destes n polinómios.

MÁXIMO DIVISOR COMUM O polinómio d(x) diz-se o máximo divisor comum de p_{1}(x), …, p_{n}(x) e escreve-se d(x) = mdc (p_{1}(x), …, p_{n}(x)).

Analogamente, também existe um único polinómio mónico m(x) tal que

(p_{1}(x)) ∩ ⋯ ∩ (p_{n}(x)) = m(x).

Neste caso:

(1) p_{i}(x) | m(x) (i = 1, 2, …, n).

(2) Se c(x) ∈ C[x] e p_{i}(x) | c(x) (i = 1, 2, …, n) então m(x) | c(x).

Portanto, m(x) é múltiplo comum de p_{1}(x), …, p_{n}(x), e é divisor de qualquer outro polinómio que seja múltiplo comum destes n polinómios.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM O polinómio m(x) diz-se o mínimo múltiplo comum de p_{1}(x), …, p_{n}(x) e escreve-se m(x) = mmc (p_{1}(x), …, p_{n}(x)).

Uma vez que, tal como nos inteiros,

p_{1}(x) = q(x)p_{2}(x) + r(x) ⇒ (p_{1}(x), p_{2}(x)) = (p_{2}(x), r(x)),

o algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo divisor comum mantém a sua validade em C[x].

ALGORITMO DE EUCLIDES Sejam p_{1}(x), p_{2}(x) ∈ C[x], com p_{2}(x) ≠ 0. Se p_{2}(x) | p_{1}(x), então mdc (p_{1}(x), p_{2}(x)) = p_{1}(x). Se p_{2}(x) ∤ p_{1}(x), usamos o algoritmo da divisão repetidamente do seguinte modo:

p_{1}(x) = q_{1}(x)p_{2}(x) + r_{1}(x)  0 ≤ gr(r_{1}(x)) < gr(p_{2}(x))
p_{2}(x) = q_{2}(x)r_{1}(x) + r_{2}(x)  0 ≤ gr(r_{2}(x)) < gr(r_{1}(x))
r_{1}(x) = q_{3}(x)r_{2}(x) + r_{3}(x)  0 ≤ gr(r_{3}(x)) < gr(r_{2}(x))
⋮ ⋮
r_{t−2}(x) = q_{t}(x)r_{t−1}(x) + r_{t}(x)  0 ≤ gr(r_{t}(x)) < gr(r_{t−1}(x))
r_{t−1}(x) = q_{t+1}(x)r_{t}(x).

Como gr(p_{2}(x)) é finito, o processo terá que parar ao cabo de um número finito de passos. Seja a o coeficiente de maior grau do último resto não-nulo r_{t}(x). Então mdc (p_{1}(x), p_{2}(x)) = a^{−1}r_{t}(x).

Aula 8 - Álgebra II Exemplo: O algoritmo de Euclides aplicado aos polinómios

p_{1}(x) = 2x^{6} + x^{3} + x^{2} + 2 ∈ 𝔽_{3}[x], p_{2}(x) = x^{4} + x^{2} + 2x ∈ 𝔽_{3}[x] dá:

2x^{6} + x^{3} + x^{2} + 2 = (2x^{2} + 1)(x^{4} + x^{2} + 2x) + x + 2
x^{4} + x^{2} + 2x = (x^{3} + x^{2} + 2x + 1)(x + 2) + 1
x + 2 = (x + 2)1.

Portanto mdc (p_{1}(x), p_{2}(x)) = 1 e p_{1}(x) e p_{2}(x) são primos entre si.

Além disso, a partir da penúltima divisão, obtemos sucessivamente:

1 = (x^{4} + x^{2} + 2x) − (x^{3} + x^{2} + 2x + 1)(x + 2)
= p_{2}(x) − (x^{3} + x^{2} + 2x + 1)(p_{1}(x) − (2x^{2} + 1)p_{2}(x))
= −(x^{3} + x^{2} + 2x + 1)p_{1}(x) + (1 + 2x^{2} + 1)p_{2}(x)
= (2x^{3} + 2x^{2} + x + 2)p_{1}(x) + (2x^{2} + 2)p_{2}(x).