Aula 9 - Álgebra II

Seja q(x) um factor de p(x). Se p(x) = a(x)q(x) onde nem a(x) nem q(x) são invertíveis, q(x) diz-se um factor próprio de p(x).

POLINÓMIO IRREDUTÍVEL Um polinómio p(x) de A[x] diz-se irredutível em A[x] quando não tem factores próprios (em A[x]) e não é invertível (em A[x]). Caso contrário, p(x) diz-se redutível.

Portanto, p(x) é irredutível quando não é invertível e p(x) = q_{1}(x)q_{2}(x) implica que um dos polinómios q_{1}(x) ou q_{2}(x) seja invertível. Assim, quando C é um corpo, um polinómio p(x) ≠ 0 em C[x] é irredutível se e só se gr(p(x) ≥ 1 e p(x) = q_{1}(x)q_{2}(x) implica gr(q_{1}(x)) = 0 ou gr(q_{2}(x)) = 0. Em particular, todo o polinómio de grau 1 é irredutível.

Exemplos: (1) Para qualquer anel A, p(x) = x é irredutível.

(2) Se A = ℤ, p(x) = 2x − 3 é irredutível mas q(x) = 2x + 6 é redutível (porque 2x + 6 = 2(x + 3) e 2 e x + 3 não são invertíveis em ℤ[x]).

(3) A redutibilidade ou irredutibilidade de um dado polinómio depende fortemente do anel em consideração. Por exemplo, o polinómio x^{2} − 2 ∈ ℚ[x] é irredutível em ℚ[x], mas x^{2} − 2 = (x + \sqrt{2})(x − \sqrt{2}) é redutível em ℝ[x] ⊃ ℚ[x]; por outro lado, x^{2} + 1 é irredutível em ℚ[x] ou ℝ[x] mas é redutível em ℂ[x] ⊃ ℝ[x] ⊃ ℚ[x].

(4) Seja D um domínio de integridade. Um polinómio redutível em D[x] não tem necessariamente raízes. É o caso de x^{4} + 2x^{2} + 1, que é redutível em ℤ[x], porque x^{4} + 2x^{2} + 1 = (x^{2} + 1)^{2}, e que não tem raízes em ℤ.

(5) Se gr(p(x)) ≥ 2 e p(x) tem pelo menos uma raiz em D, então, pelo Teorema do Resto, p(x) é redutível em D[x].

(6) Se p(x) é mónico e tem grau 2 ou 3, então p(x) é redutível em D[x] se e só se tem pelo menos uma raiz em D.

                                                          [Porqu^e?]

(7) Em ℝ[x] os únicos polinómios irredutíveis são os polinómios de grau 1 e os polinómios p(x) = ax^{2} + bx + c de grau 2 com discriminante Δ = b^{2} − 4ac negativo.

              [É consequ^encia do seguinte facto:  se c ∈ ℂ é raiz de
        p(x) ∈ C[x], o complexo conjugado de c é também raiz de p(x)]

É possível em certos casos descrever todos os polinómios irredutíveis em D[x], como em ℝ[x]. Noutros casos, este problema torna-se muito complexo e é praticamente impossível fazê-lo, conhecendo-se somente resultados parciais (alguns critérios que permitem em alguns casos concluir da redutibilidade ou irredutibilidade de um dado polinómio). É o caso de ℤ[x] e ℚ[x].

              [Alguns desses critérios ser~ ao dados na aula prática]

Proposição 1. Sejam I = (p(x)) e J = (q(x)) ideais de C[x]. Então:

(1) I ⊆ J se e só se q(x) | p(x).

(2) Se I = J e p(x) e q(x) são mónicos ou nulos então p(x) = q(x).

(3) I é maximal se e só se p(x) é irredutível.

Demonstração. (1) I ⊆ J ⇔ p(x) ∈ (q(x)) ⇔ q(x) | p(x).

(2) O caso em que um dos polinómios é nulo é óbvio. Suponhamos então que são ambos mónicos. Por (1), I = J se e só se p(x) | q(x) e q(x) | p(x). Então

\{ \begin{matrix}q(x) = a(x) p(x) \\ p(x) = b(x) q(x) \end{matrix}

para alguns polinómios a(x), b(x) ∈ C[x]. Daqui segue (como observámos já na demonstração do Teorema da aula anterior) que p(x) = q(x).

(3) Provaremos que p(x) é redutível se e só se I não é maximal. Suponhamos que p(x) é redutível. Então ou é invertível ou tem um factor próprio. No primeiro caso tem-se 1 = (p(x))^{−1}p(x) ∈ I, donde I = C[x] não é maximal. No segundo caso tem-se p(x) = q_{1}(x)q_{2}(x) com gr(q_{1}(x)) ≥ 1 e gr(q_{2}(x)) ≥ 1. Então 1 ≤ gr(q_{1}(x)) < gr(p(x)), pelo que

(p(x)) ⊂ (q_{1}(x)) ⊂ C[x],

o que mostra que, também neste caso, I não é maximal.

Reciprocamente, suponhamos que I não é maximal, ou seja, que existe um ideal J = (q(x)) (recorde que C[x] é um domínio de ideais principais) tal que I ⊂ J ⊂ C[x]. Então p(x) = r(x)q(x) para algum r(x) ∈ C[x]. É claro que gr(r(x)) ≥ 1 (pois se r(x) fosse constante, q(x) pertenceria a (p(x)) e teríamos J = I). Por outro lado, também gr(q(x)) ≥ 1 (caso contrário, J = C[x]). Assim, a factorização p(x) = r(x)q(x) mostra que p(x) é redutível em C[x].

Proposição 2. Se um polinómio irredutível p(x) ∈ C[x] divide um produto r_{1}(x)r_{2}(x) ⋯ r_{m}(x) de polinómios em C[x], então pelo menos um dos factores r_{i}(x) é divisível por p(x).

Demonstração. Consideremos o ideal principal I = (p(x)). Pelo Teorema da Aula 3, C[x]/I é um corpo (logo não tem divisores de zero). Mas

(r_{1}(x) + I) · (r_{2}(x) + I) · · · · · (r_{m}(x) + I) = r_{1}(x)r_{2}(x) ⋯ r_{m}(x) + I = I,

uma vez que, por hipótese, r_{1}(x)r_{2}(x) ⋯ r_{m}(x) ∈ I. Então, necessariamente um dos factores é nulo, isto é, r_{i}(x)+I = I para algum i ∈ {1, 2, …, m}. Isto significa precisamente que r_{i}(x) ∈ I, ou seja, p(x) | r_{i}(x).

O teorema seguinte mostra a importância dos polinómios irredutíveis no anel C[x].

Teorema. [Factorização única em C[x]] Todo o polinómio r(x) ∈ C[x] de grau positivo pode ser escrito na forma

r(x) = cp_{1}(x)^{n_{1}}p_{2}(x)^{n_{2}} ⋯ p_{t}(x)^{n_{t}} (∗)

onde c ∈ C, p_{1}(x), p_{2}(x), …, p_{t}(x) são polimónios mónicos irredutíveis em C[x], todos distintos, e n_{1}, n_{2}, …, n_{t} ∈ ℕ.

E mais: esta factorização é única a menos da ordem pela qual se escrevem os factores.

                         [Observe mais uma vez o paralelismo com ℤ:
        os polinómios irredutíveis correspondem aos inteiros primos;
      este teorema corresponde ao Teorema Fundamental da Aritmética]

Referir-nos-emos a (∗) como a factorização canónica de r(x) em C[x].