Aula 1 14/09/04 Apresentação do curso: Programa, Bibliografia e Avaliação. I. Anéis e Corpos. Anéis: motivação e definição. Notas históricas. Exemplos. Propriedades básicas. Anéis comutativos e anéis unitários. Exemplos.
Aula 2 16/9/04 Divisores de zero. Domínios de integridade. Exemplos. Elementos invertíveis. Corpos. Exemplos. Subanéis e ideais. Exemplos. Ideais principais.
Aula 3 21/9/04 Construção dos ideais principais. Exemplos. Anel quociente: construção; exemplos. Ideais primos e ideais maximais. Definição e exemplos.
Aula 4 23/9/04 Relação entre o anel quociente A/I e o facto de I ser primo ou maximal. Homomorfismos de anéis. Aplicações: critérios de divisibilidade (por 2, 3, 5, 6, 9, 11, etc.) nos inteiros; Característica de um anel.
Aula 5 28/9/04 Conclusão da aula anterior. Algumas observações sobre isomorfismos. II. Anéis polinomiais. Definição de polinómio com coeficientes num anel A. Soma e produto (de convolução) de polinómios. O anel A[x].
Aula 6 30/9/04 O anel $A[x]$ é uma extensão de $A$. Polinómios e funções polinomiais. A indeterminada x. Grau de um polinómio. Propriedades. Algoritmo de Divisão no anel dos polinómios.
Aula 7 7/10/04 Consequências do Algoritmo de Divisão. Teorema do Resto. Raízes de um polinómio. Exemplos.
Aula 8 12/10/04 Conclusão de que estes anéis de polinómios são domínios de ideais principais. Máximo divisor comum. Algoritmo de Euclides. Mínimo múltiplo comum.
Aula 9 14/10/04 Polinómios irredutíveis. Exemplos. Propriedades. Factorização única nos domínios C[x] (onde C é um corpo).
Aula 10 19/10/04 Teorema da Factorização Única. III. Teoria de Galois. Motivação. Subcorpos. Extensões de corpos.
Aula 11 21/10/04 Discussão a propósito dos testes: elementos irredutíveis e primos. Corpos primos: Definição. Exemplos. Subcorpos primos.
Aula 12 26/10/04 As extensões vistas como espaços vectoriais. Grau de uma extensão. Teorema da Torre. Extensões finitas. Exemplos. Elementos algébricos e elementos transcendentes sobre um corpo. Exemplos. Referência aos teoremas de Lindemann (pi é transcendente sobre Q) e Hermite (e é transcendente sobre Q). Extensões algébricas. Polinómio mínimo.
Aula 13 28/10/04 Propriedades do polinómio mínimo. Exemplos. Determinação do grau e de uma base de uma extensão algébrica simples.
Aula 14 02/11/04 Exemplo: determinação de extensões duplas. Aplicações: Construções com régua e compasso. - Problemas da geometria clássica. - Regras para realizar tais construções. - Exemplos de construções. - Os quatro problemas famosos: a duplicação do cubo, a trissecção de um ângulo arbitrário, a quadratura do círculo e a inscrição de um heptágono regular numa circunferência. - Formulação da questão em termos algébricos: pontos construtíveis.
Aula 15 04/11/04 - Prova de que, dado um conjunto de pontos do plano e sendo K0 o corpo gerado pelas coordenadas desses pontos, se (x,y) é construtível a partir dos pontos dados então [K0(x):K0] e [K0(y):K0] são potências de 2. - Solução dos problemas famosos: impossibilidade da duplicação do cubo usando "régua e compasso"; impossibilidade da trissecção do ângulo de 60o;
Aula 16 09/11/04 impossibilidade da quadratura do círculo; impossibilidade da construção de um heptágono regular. - Construção de n-gonos regulares: notas históricas; análise da condição suficiente (de Gauss) e necessária (de Wantzel) de construtibilidade; os Números de Fermat. Corpos algebricamente fechados. Caracterizações de corpos algebricamente fechados. Fecho algébrico.
Aula 17 11/11/04 Extensões de decomposição. O teorema de existência e unicidade de Kronecker. Exemplos.
Aula 18 16/11/04 Conclusão da aula anterior. Homomorfismos de extensões.
Aula 19 18/11/04 Automorfismos de Galois. Grupo de Galois de uma extensão. Exemplos.
Aula 20 23/11/04 Grupo de Galois de um polinómio. Sua representação em termos de permutações das raízes do polinómio. Exemplos. Extensões de Galois.
Aula 21 25/11/04 Correspondência de Galois e Teorema Fundamental da teoria de Galois. Extensões puras e extensões por radicais. Resolução de equações por radicais: descrição do problema. Polinómios resolúveis por radicais. Grupos resolúveis. Exemplos. Critério de Galois sobre a resolubilidade de equações algébricas por radicais. Teorema de Abel-Ruffini sobre a não existência de fórmulas resolventes para a equação do quinto grau.
Aula 22 30/11/04 Conclusão da aula anterior. Exemplos de polinómios do quinto grau não resolúveis por radicais. Exemplos de polinómios de grau arbitrário resolúveis por radicais. IV. Corpos finitos Propriedades fundamentais: característica e subcorpo primo. Exemplos. Aplicações ao jogo do solitário. Possibilidades para a ordem de um corpo finito.
Aula 23 02/12/04 Classificação dos grupos finitos: Teorema de Moore e Teorema de Galois. O corpo de Galois de ordem q.
Aula 24 07/12/04 Aplicações à Teoria dos Números. Classificação dos subcorpos de um corpo finito.
Aula 25 09/12/04 Aplicações à Teoria dos Códigos. Códigos sobre o corpo de Galois com q elementos. Detecção e correcção de erros. Códigos t-correctores de erros. Distância de Hamming e Teorema de Hamming.
Aula 26 14/12/04 Códigos lineares (n,k) sobre o corpo Fq. Síndroma e peso de uma palavra. Classes de vectores de Fqn e respectivos líderes. Algoritmo de correcção automática dos erros. Exemplos.
Aula 27 16/12/04 Códigos polinomiais (n,k) sobre o corpo Fq. Polinómio gerador. Exemplos. Algoritmo de correcção automática dos erros.