Álgebra II Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra

Ano lectivo 2004/05 – 1ō semestre

Anéis e corpos

1. Averigúe se os seguintes conjuntos têm estrutura de anel para as operações indicadas. Em caso afirmativo, verifique se têm identidade, divisores de zero e estrutura de corpo.

(a) (ℤ_{n}, ⊕_{n}, ⊗_{n}) sendo Z_{n} = {0, 1, …, n−1} com n número natural fixo, ⊕_{n} e ⊗_{n} adição e multiplicação módulo n.

(b) (ℳ_{n}(𝕂), +, ×) sendo ℳ_{n}(𝕂), com n número natural fixo, o conjunto das matrizes quadradas de ordem n com elementos num corpo 𝕂, + e × adição e multiplicação usuais de matrizes.

(c) (𝒫(X), Δ, ∩) sendo 𝒫(X) o conjunto das partes de X, X ≠ ∅ e AΔB = (A ∪ B) \ (A ∩ B), ∀A, B ∈ 𝒫(X).

(d) (𝒫(X), ∪, ∩) sendo 𝒫(X) o conjunto das partes de X para X ≠ ∅.

(e) (ℚ \ {0}, ×, +) sendo × e + a multiplicação e adição usuais de números racionais.

(f) (A, ⊕, ⊗) sendo (A, +, .) um anel com identidade que designamos por 1 e

a ⊕ b = a + b + 1, ∀a, b ∈ A,
a ⊗ b = a + b + a.b, ∀a, b ∈ A.

(g) (G, +, ×) sendo G = {a + ib | a, b ∈ ℤ}, o conjunto dos inteiros de Gauss, + e × a adição e a multiplicação usuais de números complexos.

2. Quais das seguintes propriedades são válidas em qualquer anel A? E em qualquer anel comutativo?

(a) a^{m}a^{n} = a^{m+n}, ∀a ∈ A, ∀m, n ∈ ℕ

(b) (a^{m})^{n} = a^{mn}, ∀a ∈ A, ∀m, n ∈ ℕ

(c) (ab)^{m} = a^{m}b^{m}, ∀a, b ∈ A, ∀m ∈ ℕ

3. Seja A um anel com identidade 1 e não tendo divisores de zero. Para a, b ∈ A verifique que:

(a) ab = 1 se e só se ba = 1.

(b) Se a^{2} = 1 então ou a = 1 ou a = −1.

4. Sejam a e b dois elementos de um anel comutativo R com identidade. Se n ∈ ℤ^{+}, deduza a expressão binomial

(a + b)^{n} = ∑_{i=0}^{n} C_{i}^{n}a^{n−i}b^{i},  onde  C_{i}^{n} = \frac{n!}{i!(n − i)!} .

5. Sendo A um anel comutativo e a ∈ A \ {0}, prove que (ab = ac ⇒ b = c) ⇔ a não é um divisor de zero.

6. Um elemento a de um anel R diz-se idempotente se a^{2} = a e nilpotente se a^{n} = 0 para algum n ∈ ℕ. Mostre que:

(a) Um elemento idempotente diferente de zero não pode ser nilpotente.

(b) Qualquer elemento nilpotente diferente de zero é um divisor de zero.

7. Seja (A, +, .) um anel. Suponha que existe a ∈ A \ {0} tal que a não é divisor de zero e, além disso, a^{k} = a para algum k ∈ ℕ \ {1}. Prove que o anel A tem identidade.

8. Averigue quais dos seguintes conjuntos são subanéis ou ideais dos anéis indicados. Sempre que possível determine o anel quociente.

(a) O conjunto dos inteiros pares em (ℤ, +, ×).

(b) O conjunto dos inteiros ímpares em (ℤ, +, ×).

(c) O conjunto dos números reais de forma a + b\sqrt{2}, com a, b ∈ ℤ, em (ℝ, +, ×).

(d) O conjunto dos números complexos da forma ib, com b ∈ ℝ, em (ℂ, +, ×).

(e) O conjunto dos números inteiros em (ℚ, +, ×).

9. Chama-se centro de um anel A ao conjunto {x ∈ A | xa = ax, ∀a ∈ A}. Mostre que o centro de A é um subanel do anel A. Será um ideal?

10. Verifique que ℤ × {0} é um subanel de (ℤ × ℤ, +, .) e que ℤ × {0} tem identidade diferente da identidade de (ℤ × ℤ, +, .).

11. Seja A um anel. Dados dois ideais I e J de A, considere o conjunto I + J = {a + b : a ∈ I e b ∈ J}. (a) Mostre que I + J é um ideal de A.

(b) Prove que se N é um subanel de A que contém I e J, então N contém I + J.

12. Determine os ideais do anel ℤ_{n} para

(a) n = 4;  (b) n = 11;  (c) n = 12;  (d) n = 16.

13. Prove que a intersecção de qualquer família de subanéis (resp., ideais) de um anel A é um subanel (resp., ideal) de A.

14. (a) Qual é o menor subanel de ℤ que contém o 3? E o menor ideal?

(b) Qual é o menor subanel de ℝ que contém o \frac{1}{2}? E o menor ideal?

15. Mostre que (a) + (b) = (a, b) para quaisquer dois elementos a e b de um anel.

16. (a) Mostre que 𝒫(S) é um ideal de (𝒫(X), Δ, ∩) (exercício 1.(c))para qualquer subconjunto S de X. (b) Determine o anel quociente 𝒫(X)/𝒫(S) e compare-o com o anel com (𝒫(X \ S), Δ, ∩).

17. Averigúe quais das seguintes aplicações são homomorfismos de anéis.

(a) \begin{aligned}f : & ℤ & ⟶ & ℤ \\ & a & ⟼ & 5a \end{aligned}

(b)

f : ℤ ⟶  ℤ_{n}
a ⟼ resto da divisão de a por n

(c)

f : G ⟶  ℤ
a + ib ⟼ a^{2} + b^{2}, sendo G o anel dos inteiros de Gauss (exercício 1.(g)).

18. Seja f : A ⟶ B um homomorfismo de anéis. Prove que se I é um ideal de A então f(I) é um ideal de f(A).

19. Considere os seguintes subanéis de ℝ:

R = \{a + b\sqrt{2} | a, b ∈ ℚ\} e S = \{a + b\sqrt{3} | a, b ∈ ℚ\}.

(a) Verifique que θ : R ⟶ S definida por θ(a + b\sqrt{2}) = a + b\sqrt{3} não é um isomorfismo de anéis.

(b) Mostre que os anéis R e S não são isomorfos.

20. Seja f um homomorfismo de um domínio de integridade D num domínio de integridade S. Prove que f(D) = {0} ou f(1_{D}) = 1_{S}.

21. Determine a característica dos anéis com identidade do exercício 1.

22. Considere o anel ℤ dos números inteiros.

(a) Prove que o ideal gerado por p ∈ ℕ \ {1} é um ideal primo se e só se p é um número primo.

(b) Determine o ideal gerado por {a, b} ⊂ ℕ, com m.d.c.(a, b) = 1.

23. Sejam  A = \{\frac{m}{n} ∈ ℚ | m.d.c.(m, n) = 1 e n é ímpar\}, B = \{\frac{m}{n} ∈ ℚ | m.d.c.(m, n) = 1, n é ímpar e m é par\}.

Prove que:

(a) A é um anel para as operações usuais de adição e multiplicação de números racionais.

(b) B é um ideal maximal de A.

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24. Seja A um anel comutativo com identidade.

(a) Mostre que para qualquer ideal I, 1 ∈ I se e só se A = I.

(b) Se I é um ideal de A, então J_{a} = {xa + y | x ∈ A, y ∈ I} é um ideal de A.

25. Sejam D um domínio de integridade e a e b elementos de D. Mostre que (ab) ⊆ (a) e indique uma condição necessária e suficiente para que (ab) = (a).

26. Considere no conjunto F = {0, 1, α, β} as operações + e · definidas pelas seguintes tabelas:

\begin{matrix}+ & 0 & 1 & α & β \\ 0 & 0 & 1 & α & β \\ 1 & 1 & 0 & β & α \\ α & α & β & 0 & 1 \\ β & β & α & 1 & 0 \end{matrix}  \begin{matrix}· & 0 & 1 & α & β \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & α & β \\ α & 0 & α & β & 1 \\ β & 0 & β & 1 & α \end{matrix}

(a) Prove que (F, +, ·) é um corpo.

(b) Determine todos os subcorpos de F. Verifique se são ideais?

(c) Indique a característica de F.

27. Considere o corpo ℚ(\sqrt{n}) = \{a + b\sqrt{n} | a, b ∈ ℚ\} com n ∈ ℕ fixo.

Averigúe se as seguintes aplicações estão bem definidas e, nesse caso, se são homomorfismos:

\begin{aligned}f : & ℚ(\sqrt{n}) & ⟶ & ℚ(\sqrt{n}) & g : & ℚ(\sqrt{n}) & ⟶ & ℚ(\sqrt{m}) \\ & a + b\sqrt{n} & ⟶ & a − b\sqrt{n} & & a + b\sqrt{n} & ⟶ & a + b\sqrt{m}. \end{aligned}

28. Seja A um anel comutativo com identidade.

(a) Mostre que se n1 = 0, então para qualquer a ∈ A, na = 0.

(b) Se A é um corpo, então, para todo o a ∈ A, n1 = 0 se e só se na = 0.

(c) Prove que se F é um corpo de característica p ≠ 0 e a um elemento não nulo de F, então na = 0 se

e só se n é um múltiplo de p.

29. Sejam a e b elementos de um anel comutativo com identidade de característica p ≠ 0. Prove que: (a) (a + b)^{p^{n}} = a^{p^{n}} + b^{p^{n}};

(b) (a − b)^{p^{n}} = a^{p^{n}} − b^{p^{n}}.

30. Seja A um anel comutativo com identidade de característica n ≠ 0. Prove que a aplicação Π : A → A, definida por Π(x) = x^{n} para qualquer x ∈ A, é um homomorfismo.

31. Considere os ideais (2), (4), (5) do anel ℤ. Determine o anel quociente respectivo e diga se é um corpo.

32. Seja f um homomorfismo não nulo de um anel comutativo A num domínio de integridade D. Prove que Nuc f é um ideal primo de A.

33. Considere o subconjunto A = {5n + 5mi | n, m ∈ ℤ} dos inteiros de Gauss (ex. 1.(g)).

(a) Mostre que A é um ideal.

(b) Averigúe se A é principal, primo ou maximal.

34. Diga quais dos seguintes anéis quociente são corpos. Determine os elementos que os constituem e a sua característica.

(a) G/(5);

(b) G/(1 − i);

(c) G/(2i).

35. Averigúe se os ideais (x) e (2, x) do domínio ℤ[x] são principais, primos ou maximais.

Anéis de polinómios

36. Determine o produto dos polinómios f e g do anel A[x], sendo:

(a) f = 2x^{5} + 1, g = 2x^{5} + 1 e A = ℤ_{4};

(b) f = 2x^{2} + 2x − 2, g = 3x − 3 e A = ℤ_{6};

(c) f = 2x^{2} − 4x + 3, g = 4x − 5 e A = ℤ_{8}.

37. Mostre que se A é subanel de B, então A[x] é subanel de B[x].

38. Prove que o conjunto dos polinómios homogéneos num anel A,

{∑_{i=1}^{n} a_{i}x^{i} | n ∈ ℕ, a_{i} ∈ A}, é um ideal de A[x].

39. Sejam A um anel comutativo e a um elemento fixo de A. Considere a aplicação

\begin{aligned}ϕ_{a} : & A[x] & ⟶ & A \\ & f & ⟼ & f(a) \end{aligned} ,

denotando por f(a) o valor da função polinomial associada a f no ponto a.

(a) Mostre que ϕ_{a} é um homomorfismo de anéis.

(b) Determine o núcleo de ϕ_{a}.

40. (a) Sejam D um domínio de integridade e f um elemento não nulo de D[x]. Prove que f é invertível se e só se gr(f) = 0 e f for invertível considerado como elemento de D. Conclua que se 𝕂 for um corpo, então os únicos elementos invertíveis de 𝕂[x] são os polinómios de grau zero.

(b) O resultado da alínea anterior é válido se D for um anel comutativo qualquer?

41. Sendo f e g elementos de 𝕂[x], determine o quociente e o resto da divisão de f por g , para (a) f = x^{4} + 4x^{2} + 4, g = x^{2} e 𝕂 = ℚ;

(b) f = x^{3} + 2x^{2} − x + 2, g = x + 2 e 𝕂 = ℤ_{3};

(c) f = x^{7} − 4x^{6} + x^{3} − 3x + 5, g = 2x^{3} − 2 e 𝕂 = ℤ_{7}.

42. (a) Sendo f um elemento não nulo de ℝ[x], indique os elementos associados a f.

(b) Determine d = m.d.c.(f, g) e também u, v ∈ ℝ[x] tais que

d = uf + vg,

para • f = x^{3} + 1 e g = x^{4} + x^{3} + 2x^{2} + x + 1;

• f = x^{3} + 2x^{2} + 4x − 5 e g = x^{2} + x − 2;

• f = x^{3} + 3x^{2} + 2x + 8 e g = x^{4} − 4.

43. Sejam p um inteiro positivo primo e f um polinómio irredutível de ℤ_{p}[x] de grau n. Prove que o corpo ℤ_{p}[x]/(f) tem exactamente p^{n} elementos.

44. Em ℤ_{5}[x] determine c ∈ ℤ_{5} de tal forma que x − 2 seja um divisor de x^{4} + 2x^{2} + c.

45. Sendo C um corpo, prove que se f ∈ C[x] é de grau 2 ou 3 e não tem raízes em C então f é irredutível sobre C. Mostre que a recíproca é válida para polinómios de grau ≥ 2.

46. Dê exemplos de polinómios redutíveis sobre um corpo mas que não tenham nenhuma raiz nesse corpo.

47. Seja C um corpo finito. Mostre que C[x] contém polinómios irredutíveis de grau tão grande quanto se queira. (Sugestão: Imite a prova de Euclides da existência de um número infinito de primos).

48. Seja f = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{1}x + a_{0} ∈ ℤ[x] com a_{0} ≠ 0. Mostre que, se \frac{p}{q} (número racional expresso como quociente de inteiros primos entre si) for raiz de f, então p | a_{0} e q | a_{n}. Conclua que se f for mónico então as suas raízes racionais são inteiras e, além disso, dividem a_{0}.

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49. Averigúe quais dos seguintes polinómios de ℤ[x] são irredutíveis sobre ℚ. Em caso negativo, factorize-os como produto de polinómios irredutíveis.

(a) x^{3} − x + 1;

(b) x^{3} − 2x − 1

(c) x^{3} − 2x^{2} + x + 15.

50. Determine todas as raízes racionais dos seguintes elementos de ℚ[x]:

(a) x^{50} − x^{20} + x^{10} − 1;

(b) 2x^{2} − 3x + 4;

(c) \frac{1}{2}x^{3} − 5x + 2;

(d) x^{3} − 7x + 3.

51. Mostre que A[x]/(x^{4} + x^{3} + x + 1) não é um corpo, qualquer que seja o anel comutativo com identidade A que consideremos.

52. Determine 𝕂[x]/(f) e escreva as respectivas tabelas de anel para:

(a) 𝕂 = ℤ_{2} e f = x;

(b) 𝕂 = ℤ_{2} e f = x^{2} + x + 1;

(c) 𝕂 = ℤ_{3} e f = x^{2} + 2.

53. Quais dos conjuntos J ⊆ ℚ[x] são ideais de ℚ[x]. Em caso afirmativo, calcule p(x) mónico tal que J = (p(x)). Quais desses ideais são maximais?

(a) J = {f(x) ∈ ℚ[x] | f(1) = f(7) = 0};

(b) J = {f(x) ∈ ℚ[x] | f(2) = 0 e f(5) ≠ 0};

(c) J = \{f(x) ∈ ℚ[x] | f(\sqrt{3}) = 0\};

(d) J = {f(x) ∈ ℚ[x] | f(4) = 0 e f(0) = f(1)}.

54. Se p > 2 é um número primo, mostre que há exactamente dois elementos a ∈ ℤ_{p} tais que a^{2} = 1.

55. Utilizando o critério de Eisenstein, investigue se são irredutíveis sobre ℚ os seguintes polinómios com coeficientes racionais:

(a) x^{7} + 11x^{3} + 33x + 22;

(b) x^{5} + 2;

(c) x^{3} + 2x^{2} + 10;

(d) 2x^{5} − 6x^{3} + 9x^{2} − 15;

(e) 2x^{2} + 27;

(f) \frac{2}{9}x^{5} + \frac{5}{3}x^{4} + \frac{1}{3}.

56. Utilize o critério de Eisenstein para demonstrar que, se n > 1 e p_{1}, p_{2}, …, p_{k} são números primos distintos dois a dois, então \sqrt[n]{p_{1}p_{2} … p_{k}} é um número irracional. Será indispensável exigir que os números p_{1}, p_{2}, …, p_{k} sejam todos distintos?

57. Averigúe se x^{2} + 1 é irredutível sobre:

(a) ℤ_{3}; (b) ℤ_{2}.

58. Mostre que se f ∈ ℤ[x], f(0) e f(1) são ímpares, então f não tem raízes em ℤ.

59. Prove que os polinómios de ℤ[x] (a) f = x^{3} − x^{2} + 1 (b) g = x^{4} + 15x^{3} + 7 são irredutíveis sobre ℚ. (Sugestão: Estude f sobre ℤ_{2} e g sobre ℤ_{5}).

60. Resolva os seguintes sistemas de equações lineares:

(a) \{ \begin{matrix}2x + 3y = 1 \\ 4x + 5y = 3 \end{matrix} sobre ℤ_{7}; (b) \{ \begin{matrix}x + iy = −i \\ ix − y = 2 \end{matrix} sobre ℤ[i]/(2 + i).

Extensões de corpos e Teoria de Galois

61. Sejam F_{1}, F_{2}, F_{3} três corpos tais que F_{1} ⊆ F_{2} ⊆ F_{3} e θ ∈ F_{3}. Verifique que se θ é algébrico sobre F_{1} então é algébrico sobre F_{2}. Mostre que a proposição recíproca é falsa.

62. Sejam F_{1} um subcorpo de um corpo F e α, β elementos de F. Prove que F_{1}(α, β) = F_{1}(α)(β). Generalize para o caso de n elementos α_{1}, …, α_{n} ∈ F.

63. Sejam F_{1} um subcorpo de um corpo F e α um elemento de F. Prove que:

(a) se α é algébrico sobre F_{1}, o mesmo sucede a α + c e a cα, qualquer que seja c ∈ F_{1};

(b) se α é algébrico sobre F_{1}, o mesmo sucede a α^{2} e reciprocamente. Conclua que ℂ é uma extensão algébrica de ℝ.

64. Averigúe quais dos seguintes elementos são algébricos ou transcendentes sobre o corpo ℚ: (a) \sqrt{7} (b) \sqrt[3]{2} (c) π^{2} (d) e + 3 (e) 1 + i.

65. Sejam F_{1} um subcorpo de um corpo F e α um elemento de F. Prove que se α é algébrico sobre F_{1} então F_{1}(α) = F_{1}[α], justificando pormenorizadamente os seguintes passos:

(a) F_{1}[α] é um domínio de integridade.

(b) Sendo f(α) um elemento não nulo de F_{1}[α] e m o polinómio mínimo de α sobre F_{1}, então: f não é múltiplo de m; existem t, s ∈ F_{1}[x] tais que tf + sm = 1; t(α).f(α) = 1.

(c) F_{1}[α] é um corpo.

66. Averigúe se os seguintes anéis quociente são corpos e, nos casos afirmativos, determine os elementos que os constituem e a sua característica:

(a) ℤ_{5}[x]/(x^{2} + 4);

(b) ℚ[x]/(x^{3} − 2);

(c) ℝ[x]/(x^{2} + 1).

67. Determine o inverso de cada um dos seguintes elementos nas extensões simples ℚ(α) indicadas: (a) 1 − 2α + 3α^{2}, com α raiz do polinómio x^{3} − x + 1;

(b) −α^{2} + 2α − 3, com α = \sqrt[3]{2};

(c) α + 1 e α^{2} − 6α + 8, com α ≠ 0 tal que α^{4} − 6α^{3} + 9α^{2} + 3α = 0.

68. Sejam F e E dois corpos tais que F ⊆ E. Sabendo que, se α, β ∈ E são elementos algébricos sobre F, [F (α, β) : F] é finita, prove que os elementos de E algébricos sobre F formam um subcorpo de E.

69. Seja F uma extensão dum corpo F_{1} e α ∈ F um elemento algébrico de grau n sobre F_{1}. Prove que todo o elemento de F_{1}(α) se pode exprimir de modo único na forma a_{0} + a_{1}α + ⋯ + a_{n−1}α^{n−1} com a_{i} ∈ F_{1} (i = 0, ..., n − 1).

70. Exprima na forma referida no exercício anterior os seguintes elementos das extensões algébricas ℚ(α) indicadas:

(a) α^{4}, α^{2}, α^{5} e α^{5} − α^{4} + 2, com α raíz do polinómio x^{3} − 6x^{2} + 9x + 3.

(b) (α^{3} + 2)(α^{3} + 3α), α^{4}(α^{4} + 3α^{2} + 7α + 5) e \frac{α+2}{α^{2}+3}, sendo α uma solução da equação x^{5} + 2x + 2 = 0.

71. Determine o polinómio mínimo sobre ℚ dos seguintes elementos:

(a) 2 + \sqrt{3} (b) θ^{2} − 1, com θ^{3} = 2θ + 2 (c) θ^{2} + θ, com θ^{3} = −3θ^{2} + 3.

72. Prove que \sqrt{7} ∉ ℚ(\sqrt{3}), i ∉ ℚ(\sqrt{5}) e \sqrt{5} ∉ ℚ(i).

73. Seja F uma extensão finita de F_{1}. Prove que:

(a) se [F : F_{1}] é um número primo, então F é uma extensão simples de F_{1};

(b) se θ ∈ F, então o grau de θ é um divisor de [F : F_{1}]; conclua que se tem F = F_{1}(θ) se e só se o grau de θ coincidir com [F : F_{1}];

(c) se f ∈ F_{1}[x] é irredutível em F_{1}[x] e o grau de f é um número primo com [F : F_{1}] e maior do que 1, então f não tem raízes em F.

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74. Seja p um número primo e c um elemento do corpo C. Prove que x^{p} − c é irredutível sobre C se e só se x^{p} − c não tem raízes em C.

75. Sejam F,F_{1} e F_{2} corpos com F ⊆ F_{i}, para i = 1, 2. Se F_{1} e F_{2} são extensões finitas de F tais que [F_{1} : F] e [F_{2} : F] são primos entre si, então F_{1} ∩ F_{2} = F.

76. Determine o grau sobre ℚ e uma base de cada uma das seguintes extensões de ℚ:

(a) ℚ(\sqrt{3}, i); (b) ℚ(\sqrt{18}, \sqrt[4]{2});

(c) ℚ(\sqrt[3]{2}, θ), com θ^{4} + 6θ + 2 = 0;

(d) ℚ(\sqrt{7}, θ), com θ^{3} + 3 = 0;

(e) ℚ(α, β), com α^{3} − α + 1 = 0 e β^{2} − β = 1.

77. Determine o grau e uma base da extensão ℚ(\sqrt{π}) de ℚ(π).

78. Sejam α^{3} = 2, w uma raiz cúbica da unidade e β = w.α. Determine a dimensão e uma base de ℚ(α, β) sobre ℚ.

79. Mostre que x^{2} + 1 é irredutível sobre ℤ_{3}. Sendo u uma raíz deste polinómio determine o número de elementos de ℤ_{3}(u) e as tabelas de adição e multiplicação.

80. Averigúe se os seguintes polinómios são irredutíveis sobre o corpo indicado:

(a) x^{2} + 2 sobre ℚ(\sqrt{5}); (b) x^{2} − 2x + 2 sobre ℚ(\sqrt{−3});

(c) x^{3} − 3x + 3 sobre ℚ(\sqrt[4]{2}).

81. Determine para quais dos seguintes polinómios f ∈ F [x] existem extensões F (α) tais que f é o polinómio mínimo de α:

(a) x^{2} − 4, F = ℚ; (b) x^{3} + x + 2, F = ℤ_{3}; (c) x^{2} + 1, F = ℤ_{5}.

82. Para cada uma das expressões de ℚ indicadas averigúe se θ gera a mesma extensão:

(a) θ = 2 + \sqrt[3]{4}, ℚ(\sqrt[3]{2}); (b) θ = \sqrt{2} + \sqrt{3}, ℚ(\sqrt{2});

(c)θ = u^{2} + u + 1, ℚ(u), com u^{2} + 5u − 5 = 0.

83. Considere o polinómio f = x^{3} − x + 1 ∈ ℚ[x]. Seja α uma raiz de f.

(a) Determine o inverso de α + 1 em ℚ(α), escrevendo-o como polinómio em α de coeficientes racionais.

(b) Considere u = α^{2} + 1. As extensões ℚ(u) e ℚ(α) coincidem?

84. Determine o inverso de 2 + \sqrt[3]{4} em ℚ(\sqrt[3]{2}).

85. Determine a dimensão e uma base da extensão:

(a) ℚ(\sqrt{2}, α) sobre ℚ, onde 3α^{3} + 7α^{2} = 14α − 56;

(b) ℚ(\sqrt{7}, θ) sendo θ uma raiz do polinómio x^{3} + 2x^{2} + 2x − 4 tal que [ℚ(θ) : ℚ] > 1.

86. Seja θ uma raiz não nula do polinómio x^{4} − x^{3} + x^{2} − 2x ∈ ℚ[x]. Determine \frac{θ^{2}}{θ^{2}+1} e exprima o resultado como combinação linear dos elementos duma base do espaço vectorial ℚ(θ) sobre ℚ.

87. Considere ℤ_{5}(α), sendo α^{2} + 3 = 0, e determine:

(a) a expressão geral dos elementos desse corpo e o seu cardinal;

(b) o polinómio mínimo de β = α + 1;

(c) o inverso de β.

88. Mostre que é impossível construir com régua e compasso:

(a) um cubo com volume igual ao de uma esfera dada;

(b) o ponto (\sqrt{5\sqrt{5} − 3} + \sqrt{2 − \sqrt[3]{2}}, 0) a partir dos pontos (0, 0) e (1, 0).

89. Observe que a fórmula de Cardano-Tartaglia não é conveniente para resolver as equações: (a) x^{3} − 19x + 30 = 0;

(b) x^{3} + 3x − 14 = 0.

90. Determine a extensão de decomposição de:

(a) x^{2} − 5 sobre ℚ;

(b) x^{2} + 1 sobre ℝ;

(c) x^{5} − 2x^{4} − 10x^{3} + 20x^{2} + 25x − 50 sobre ℚ.

91. Seja L uma extensão de ℚ. Determine os ℚ-automorfismos de L para:

(a) L = ℚ(\sqrt{2});

(b) L = ℚ(α) ⊆ ℝ, com α^{5} = 7;

(c) L = ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3});

(d) L a extensão de decomposição de t^{4} − 4t^{2} − 5.

92. (a) Para as extensões do exercício anterior, calcule os respectivos grupos de Galois.

(b) Diga em quais dos casos é que a correspondência de Galois entre os subgrupos do grupo de Galois

e as subextensões de L é uma bijecção.

93. Seja γ uma raiz de x^{2} + x + 1 ∈ ℤ_{2}[x]. Mostre que σ : ℤ_{2}(γ) → ℤ_{2}(γ) definida por σ(a + bγ) = a + b + bγ, com a, b ∈ ℤ_{2}, é um ℤ_{2}-automorfismo de ℤ_{2}(γ).

94. Determine o grupo de Galois associado a cada uma das extensões do exercício 76.

95. Mostre que Gal(K; L) = 1 não implica K = L.

(Sugestão: Considere L = ℚ e K a extensão de L gerada pela única raiz real de um polinómio irredutível sobre ℚ).

96. (a) Determine os corpos intermédios entre ℚ e ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}).

(b) Calcule o respectivo grupo de Galois e compare os resultados.

97. Seja F uma extensão algébrica simples de K, α ∈ F − K e σ um elemento do grupo de Galois. Mostre que α e σ(α) têm o mesmo polinómio mínimo sobre K.

98. Calcule o grupo de Galois do polinómio f(x) sobre o corpo K nos seguintes casos:

(a) f(x) = x^{2} + 1, K = ℝ;

(b) f(x) = x^{4} − 2, K = ℚ;

(c) f(x) = x^{3} − x + 1, K = ℚ; (ver Ex.67)

(d) f(x) = x^{4} − 4x^{2} − 5, K = ℚ(i).

99. Calcule o grupo de Galois para os polinómios e os corpos considerados no Exercício 80.

100. Sejam C um corpo e E uma extensão de C. Prove que se α ∈ E é algébrico sobre C, de grau n, então |Gal(C(α); C)| ≤ n.

101. Sejam n um número natural e K um corpo que contém as raízes de índice n da unidade.

(a) Se n for primo e α raiz do polinómio x^{n} − a, a ∈ K, então Gal(K(α); K) é um grupo cíclico de ordem 1 ou de ordem n.

(b) Se β é raiz de x^{n} − a, a ∈ K, então Gal(K(β); K) é cíclico.

102. (a) Sejam p um número primo e K um corpo que contém as raízes de índice p da unidade. Mostre que

x^{p} − a, a ∈ K, é irredutível sobre K se e só se não tem raízes sobre K.

(b) Prove que a hipótese de K conter as raízes de índice p da unidade não é necessária.

103. Seja C um corpo de característica diferente de 2, e K uma extensão de C tal que [K : C] = 2. Mostre que K = C(\sqrt{a}) para algum a ∈ C e que K é de Galois sobre C.

Álgebra II Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra

Ano lectivo 2004/05 – 1ō semestre

104. Mostre que se f é um polinómio irredutível de grau 3, então Gal(f, ℚ) ≅ 𝒜_{3} ou Gal(f, ℚ) ≅ 𝒮_{3}.

105. Considere um polinómio irredutível de grau 3 escrito na sua forma reduzida x^{3} + px + q, e as suas três raízes complexas distintas a, b, e c.

(a) Verifique que \{ \begin{matrix}a + b + c = 0 \\ ab + ac + bc = p \\ abc = −q \end{matrix} .

(b) A partir da alínea anterior, mostre que ((a − b)(a − c)(b − c))^{2} = −4p^{3} − 27q^{2} = D.

(c) Prove que se \sqrt{D} ∈ ℚ e φ ∈ Gal(f, ℚ), então φ(\sqrt{D}) = \sqrt{D} e portanto Gal(f, ℚ) ≅ 𝒜_{3}.

(d) Prove que se \sqrt{D} ∉ ℚ, então ℚ(\sqrt{D}) está na extensão de decomposição de f, e portanto

Gal(f, ℚ) ≅ 𝒮_{3}.

106. Mostre que se os grupos A e B são resolúveis, então A×B também é resolúvel. Conclua que se os factores irredutíveis de um polinómio são resolúveis por radicais, então ele também é resolúvel por radicais.

107. Para cada um dos seguintes grupos, mostre que são resolúveis e indique um polinómio de coeficientes racionais cuja a resolubilidade por radicais resulte desse facto.

(a) ℤ_{m} ⋊ ℤ_{m}^{∗}. (b) ℤ_{2}^{n}. (c) 𝒮_{3}. (d) 𝒮_{4}. (e) ℤ_{2} ⊕ 𝒮_{3}.

108. (a) Mostre que, se um grupo resolúvel não tem subgrupos normais próprios, então é um grupo cíclico

de ordem prima.

(b) Sabendo que o grupo 𝒜_{5} não tem subgrupos normais próprios, conclua que ele é resolúvel.

(c) A partir da alínea anterior, mostre que 𝒮_{n} não é resolúvel para n ≥ 5.

109. Sejam p um número primo, e f ∈ ℚ[x] um polinómio irredutível de grau p. Mostre que:

(a) se f tem exactamente duas raízes complexas, então o grupo de Galois de f sobre ℚ é o grupo simétrico 𝒮_{p} e portanto não é resolúvel por radicais;

(b) se f tem exactamente quatro raízes complexas, então não é resolúvel por radicais.

110. Mostre que os seguintes polinómios f ∈ ℚ[x] não são resolúveis por radicais:

{(a) f = 2x^{5} − 10x + 5; \atop (b) f = 2x^{5} − 5x^{4} + 20;}  {(c) f = x^{5} − 6x^{2} + 5; \atop (d) f = x^{7} − 10x^{5} + 15x + 5.}

111. Resolva as equações por meio de radicais.

(a) x^{5} − 5x^{4} + 10x^{3} − 10x^{2} + 5x − 8 = 0. (Sugestão: y = x − 1.)

(b) x^{3} + 2x^{2} − 5x + 9 − \frac{5}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} = 0. (Sugestão: y = x + \frac{1}{x}.)

112. Determine a extensão a radical sobre ℚ que contém os seguintes elementos de ℂ:

(a) \sqrt[3]{8} + \sqrt{2}; (b) \begin{matrix}^{7} & \sqrt{13 + \sqrt{2}} \\ ^{3} & \sqrt{5} \end{matrix}.

113. Verifique que apesar de x^{3} − 3x + 1 ser resolúvel por radicais, a sua extensão de decomposição não é uma extensão radical. (ver Exercício 105)

Corpos finitos

114. Seja F a extensão de decomposição de x^{2} − 2 ∈ ℤ_{3}[x].

(a) Descreva o corpo F e indique um gerador de F^{∗} = F \ {0}.

(b) Qual é o subcorpo primo de F?

115. Seja F a extensão de decomposição de f = x^{p^{n}} − x sobre 𝔽_{p}.

(a) Mostre que R = {a ∈ F | a^{p^{n}} = a}, o conjunto das raízes de f, é um subcorpo de F.

(b) Prove directamente, a partir a definição de raiz dupla, que todas as raízes de f são simples.

(c) Conclua que R = F.

116. Seja C um corpo com 81 elementos.

(a) Determine a característica de C, indique o seu o corpo primo e determine [C : ℤ_{p}].

(b) Justifique a afirmação O único subcorpo próprio de C é o seu subcorpo primo.

117. Construa um corpo finito de ordem 16 e determine todos os geradores do seu grupo multiplicativo.

118. Indique, justificando, o número de corpos não isomorfos de ordem inferior a 100.

119. Determine todos os subcorpos de um corpo com 32 e 64 elementos, respectivamente.

120. Usando resultados sobre corpos finitos, mostre que se p é um número primo e r divide n, então p^{r} − 1 divide p^{n} − 1.

121. Através de um comando à distância de uma televisão podem ser efectuadas 20 operações: escolher entre 18 canais diferentes (0–17), aumentar (A) ou diminuir (D) o volume. A tabela indica três códigos decimais para transmitir essa informação.

0  1  2  ⋯  9  10  11 ⋯  17  A  D
C_{1}  00  01  02 ⋯  09  10  11 ⋯  17  18  19
C_{2} 0000 0101 0202 ⋯ 0909 1010 1111 ⋯ 1717 1818 1919
C_{3} 00000 01011 02022 ⋯ 09099 10109 11118 ⋯ 17172 18181 19190

(a) Determine a distância mínima de cada um dos três códigos.

(b) Diga quais dos códigos detectam e/ou corrigem erros singulares.

(c) Um receptor de televisão recebe informação do comando utilizando o terceiro código. Sempre que possível diga o efeito gerado pela recepção das seguintes mensagens: 15154, 13144, 19191.

122. As matrizes H_{1}, H_{2} e H_{3} determinam três códigos lineares binários.

H_{1} = [ \begin{matrix}1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] H_{2} = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ] H_{3} = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} ]

Para cada um deles responda às perguntas.

(a) Determine o comprimento do código e o número de dígitos de controlo.

(b) Calcule a distância mínima e descreva o conjunto das mensagens.

(c) Poderão estes códigos ser usados para detectar e/ou corrigir erros singulares?

(d) Supondo que os três últimos dígitos da mensagem são 011. Diga se esta mensagem pode pertencer ao código e determine a mensagem completa.

123. Calcule a matriz dos códigos do Exercício 121.

124. Usando os códigos do Exercício 122, determine os sintomas e, se possível, corrija os erros das mensagens. (a) Código 1; mensagens: 00000, 11111, 01010.

(b) Código 2; mensagens: 11011, 10011.

(c) Código 3; mensagens: 1000000, 1110101.

125. Considere 𝔽_{16} = 𝔽_{2}(α), com α^{4} = α + 1, e a matriz do código BCH

H = [ \begin{matrix}1 & α & α^{2} & α^{3} & α^{4} & α^{5} & α^{6} & α^{7} & α^{8} & α^{9} & α^{10} & α^{11} & α^{12} & α^{13} & α^{14} \\ 1 & α^{3} & α^{6} & α^{9} & α^{12} & 1 & α^{3} & α^{6} & α^{9} & α^{12} & 1 & α^{3} & α^{6} & α^{9} & α^{12} \end{matrix} ] .

(a) Faça uma estimativa para a distância mínima deste código.

(b) Codifique a mensagem 1010101 e descodifique 110010110100110 e 100111000000000.

(c) Mostre que se uma mensagem recebida r tem apenas um erro e esse erro é na posição i então H.r = [α^{(i−1)} α^{3(i−1)}]^{t}.