Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra 2004/05

Duração: 2h30m Exame modelo de Álgebra II

Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos

1. Determine:

(a) A característica do anel M_{20}(ℤ_{5}) das matrizes quadradas de ordem 20 com elementos no corpo ℤ_{5}.

(b) O máximo divisor comum de x^{2} + x + 1 e x^{4} + x^{3} + 1 em ℤ_{3}[x].

(c) As raízes racionais do polinómio x^{50} − x^{20} + x^{10} − 1.

(d) Os subcorpos do corpo 𝔽_{64}.

2. Seja D um domínio de integridade e p(x) = a_{n}x^{n}+a_{n−1}x^{n−1}+⋯+a_{1}x+a_{0} ∈ D[x]. Chama-se derivada de p(x) ao polinómio p(x)′ = na_{n}x^{n−1} + (n − 1)a_{n−1}x^{n−2} + ⋯ + 2a_{2}x + a_{1}. Prove que, para quaisquer p(x), q(x) ∈ D[x] e para qualquer α ∈ D:

(a) (p(x) + q(x))′ = p(x)′ + q(x)′ e (p(x)q(x))′ = p(x)′q(x) + p(x)q(x)′.

(b) α é raiz de p(x) de multiplicidade > 1 se e só se é simultaneamente raiz de p(x) e p(x)′.

3. Para as afirmações seguintes, escreva uma prova se a afirmação é verdadeira, caso contrário apresente uma justificação sucinta da sua falsidade:

(a) Para qualquer corpo C, um ideal principal I = (p(x)) de C[x] é maximal se e só se p(x) é irredutível.

(b) ℤ_{2}[x]/_{(x^{3}+x^{2}+x+1)} é um corpo.

(c) É possível, usando régua (não graduada) e compasso, construir o ponto

(\sqrt{5\sqrt{2} − 3} + \sqrt{2 − \sqrt[3]{2}}, 0)

a partir dos pontos (0, 0) e (1, 0).

(d) O polinómio 2x^{5} − 10x + 5 é resolúvel por radicais.

(e) Se p é um número primo e r divide n então p^{r} − 1 divide p^{n} − 1.

4. Considere a extensão L = ℚ(\sqrt{3}, \sqrt[3]{2}) ⊆ ℝ de ℚ.

(a) Como se define o grupo de Galois de L (sobre ℚ)? Determine-o.

(b) Indique todas as extensões intermédias de ℚ em L.

(c) L é uma extensão de Galois de ℚ? Justifique.

(v.s.f.f.)

5. Seja C o código (7, 3)-linear binário definido pela matriz

[ \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] .

(a) Quantas mensagens permite C codificar?

(b) Calcule a distância mínima δ(C). Poderá C detectar e/ou corrigir erros singulares?

(c) Corrija, caso tal seja possível, os erros nas seguintes mensagens: 0001000, 1011110.

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