Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Exame de Álgebra II

Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos

Duração: 2h30m 19/01/05

1. Seja A o anel (ℚ^{ℚ}, +, ·) das funções racionais de variável racional, onde (f +g)(x) = f(x)+g(x) e (f · g)(x) = f(x) · g(x).

(a) Determine a identidade de A e averigúe se A é um domínio de integridade. Qual é a característica de A?

(b) Considere o ideal I = {f ∈ A | f(2) = 0} de A. Determine o anel quociente A/I e diga se I é maximal.

2. Para as afirmações seguintes, escreva uma prova se a afirmação é verdadeira, caso contrário apresente uma justificação sucinta da sua falsidade:

(a) Todo o domínio de integridade finito é um corpo.

(b) Em 𝔽_{3}[x], mdc(x^{7} + x^{6} + 2x^{5} + x^{3} + 2x^{2} + 2x, 2x^{5} + x^{3} + 2x^{2} + 1) = x^{2} + 2.

(c) É possível, usando régua e compasso, construir um cubo com volume igual ao de uma esfera dada.

(d) ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{5}) é uma extensão de Galois de ℚ.

3. Responda a \underline{quatro} das seguintes questões:

(a) Mostre que, para quaisquer inteiros a e b, o polinómio x^{3}+(2a+1)x+(2b+1) é irredutível sobre ℚ.

(b) Determine a dimensão e uma base de ℚ(\sqrt{2}, α), onde α é uma raiz de x^{3} + 7x + 3.

(c) Para o elemento α da alínea anterior, determine o inverso de α^{2} + 7 na extensão simples ℚ(α).

(d) Escreva a tabela do grupo de Galois do polinómio f(x) = x^{4} − 2 ∈ ℚ[x].

(e) Prove que o número de elementos de qualquer corpo finito é da forma p^{n}, para algum primo p e algum natural n.

(f) Liste os subcorpos do corpo 𝔽_{256}. Qual deles é o subcorpo primo?

4. Seja C o código (7, 3)-linear binário definido pela matriz

[ \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] .

(a) Qual é o número de palavras de C?

(b) Calcule a distância mínima δ(C). Poderá C detectar erros singulares? E corrigir?

(c) Corrija, caso tal seja possível, os erros nas seguintes mensagens: 0001000, 1011110.

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