Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Exame de Álgebra II

Justifique convenientemente as suas respostas e indique os principais cálculos

Duração: 2h30m 14/02/05

1. Dado um anel (A, +, ·), seja F = (A^{A}, +, ·) o anel das aplicações de A em A com a adição e

multiplicação definidas do seguinte modo:

∀ f, g ∈ F ∀ x ∈ A (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f · g)(x) = f(x) · g(x).

Para cada (a, b) ∈ A × A considere o conjunto F_{(a,b)} = {f ∈ F | f(a) = b}.

(a) Prove que F_{(a,b)} é um subanel de F se e só se b = 0.

(b) Mostre que F_{(a,0)} é um ideal de F.

(c) Prove que o anel quociente F/F_{(a,0)} é isomorfo a A.

2. Para as afirmações seguintes, escreva uma prova se a afirmação é verdadeira, caso contrário apresente uma justificação sucinta da sua falsidade:

(a) 6x^{2} + 3x + 6 é um divisor de zero de ℤ_{9}[x].

(b) Os polinómios 2x e x + 2 de 𝔽_{3}[x] são primos entre si.

(c) Existe n ≥ 2 tal que \sqrt[n]{2} é racional.

(d) Se α, β ∈ ℂ são algébricos sobre ℚ então [ℚ(αβ) : ℚ] = [ℚ(α) : ℚ][ℚ(β) : ℚ].

(e) Todo o subcorpo de 𝔽_{p^{n}} tem ordem p^{d}, para algum divisor positivo d de n.

3. Responda a \underline{quatro} das seguintes questões:

(a) Dados a, b ∈ 𝔽_{5}, resolva em 𝔽_{5} o sistema

\{ \begin{matrix}x + 2y = a \\ −3x + 3y = b. \end{matrix}

(b) Determine todos os primos ímpares p para os quais x − 2 divide x^{4} + x^{3} + x^{2} + x em 𝔽_{p}[x].

(c) Determine a dimensão e uma base da extensão ℚ(\sqrt{3 + \sqrt{3}}) de ℚ.

(d) Mostre que o polinómio 2x^{5} − 10x + 5 não é resolúvel por radicais.

(e) Seja P um corpo primo. Prove que existe um e um só automorfismo de P.

(f) Quando é que um código C se diz t-corrector de erros? Mostre que se t ≤ (δ(C) − 1)/2,

então C é t-corrector de erros.

4. Sejam K um corpo e L uma extensão de K. Recorde que o grupo de Galois de L sobre K, Gal(L, K), é formado pelos automorfismos de L que fixam os elementos de K. Prove que se θ ∈ L é algébrico sobre K, de grau n, então |Gal(K(θ), K)| ≤ n.

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