Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Teste de Álgebra II

Duração: 20m 19/10/04

1. Seja D um domínio de integridade. Para as afirmações seguintes, escreva uma prova se a afirmação é verdadeira, senão apresente um contra-exemplo:

(a) a^{2} = 1 ⇒ a = 1 ou a = −1.

(b) −1 ≠ 1.

(c) a ≠ 0, ab = ac ⇒ b = c.

2. (a) Em ℤ_{8}[x], 4x + 1 é uma unidade? (b) Em ℤ_{8}[x], 2x é nilpotente?

(c) Em ℤ_{3}[x], x^{2} + 2 é irredutível?

(d) Mostre que em ℤ[x], os polinómios 2 e x são primos entre si, mas não existem polinómios p(x), q(x) ∈ ℤ[x] tais que 1 = 2p(x) + xq(x).