Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Teste de Álgebra II Duração: 20m 20/10/04

1. Seja A o anel (ℝ^{ℝ}, +, ·) das funções reais de variável real, onde (f + g)(x) = f(x) + g(x) e (f · g)(x) = f(x) · g(x).

(a) Determine os divisores de zero de A.

(b) Mostre que I = {f ∈ A | f(5) = 0} é um ideal de A. É primo?

2. Para as afirmações seguintes, escreva uma prova se a afirmação é verdadeira, senão apresente um contra-exemplo:

(a) Se A[x] tem divisores de zero, então A tem divisores de zero.

(b) Se A é um corpo, então A[x] é um corpo.

(c) Em ℤ_{8}[x], 4x^{2} + 2x + 4 é um divisor de zero.

(d) Em ℤ_{3}[x], x^{2} + 1 é irredutível.

(e) Em ℤ_{3}[x], 2x^{2} + 1 é irredutível.