Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Teste de Álgebra II Duração: 30m 29/11/04

1. Considere o polinómio p(x) = x^{4} − 2x^{3} − x^{2} + 3x − 2 ∈ ℚ[x]. (a) Factorize p(x) em factores irredutíveis.

(b) Determine a dimensão e uma base da extensão ℚ(\sqrt{2}, α), onde α é uma raiz de p(x) e [ℚ(α) : ℚ] > 1.

(c) Qual é o inverso de α + 1 em ℚ(α)?

2. Considere o corpo L = ℚ(\sqrt{3}, \sqrt[3]{2}) ⊆ ℝ. (a) Determine todos os ℚ-automorfismos de L.

(b) Indique todas as extensões intermédias de ℚ em L.

(c) L é uma extensão de Galois de ℚ? Justifique.