ÁLGEBRA II

Sumários das Aulas Teóricas



1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 - 20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 27.

Aula 1
12/09/05

Apresentação do curso: Programa, Bibliografia e Avaliação.
I. Anéis e Corpos.
Anéis: motivação e definição. Notas históricas. Exemplos. Propriedades básicas. 

Aula 2
14/9/05

Anéis comutativos e anéis unitários. Exemplos.
Divisores de zero. Domínios de integridade. Exemplos.
Elementos invertíveis. Corpos. Exemplos. 

Aula 3
19/9/05

Subanéis e ideais. Exemplos.
Ideais principais. Construção dos ideais principais. Exemplos.
Anel quociente: construção; exemplos. 

Aula 4
21/9/05

Ideais primos e ideais maximais. Definição e exemplos. 
Determinação dos ideias primos e maximais no anel dos inteiros.
Relação entre o anel quociente A/I e o facto de I ser primo ou maximal.

Aula 5
26/9/05

Homomorfismos de anéis. Aplicações: critérios de divisibilidade (por 2, 3, 5, 6, 9, 11, etc.) nos inteiros; 
Algumas observações sobre isomorfismos. Exemplos.
Característica de um anel. Propriedades.

Aula 6
28/9/05

II. Anéis polinomiais. 
Definição de polinómio com coeficientes num anel A.
Soma e produto (de convolução) de polinómios. O anel A[x].
O anel $A[x]$ é uma extensão de $A$.
Polinómios e funções polinomiais. A indeterminada x.
Grau de um polinómio. Propriedades. 

Aula 7
3/10/05

Algoritmo de Divisão no anel dos polinómios.
Consequências do Algoritmo de Divisão. 
Teorema do Resto. Raízes de um polinómio.
Exemplos.

Aula 8
12/10/05

Conclusão de que estes anéis de polinómios são domínios
de ideais principais.
Máximo divisor comum. Algoritmo de Euclides. 
Mínimo múltiplo comum. 
Polinómios irredutíveis. Exemplos. 

Aula 9
17/10/05

Propriedades.
Factorização única nos domínios C[x] (onde C é um corpo).
Teorema da Factorização Única.

Aula 10
19/10/05

Abertura solene das aulas.

Aula 11
24/10/05

III. Teoria de Galois.  
Motivação.
Subcorpos. Corpos primos: Definição. Exemplos. Subcorpos primos.
Extensões de corpos. As extensões vistas como espaços vectoriais. Grau de uma extensão.

Aula 12
26/10/05

Teorema da Torre.
Extensões finitas. Exemplos.
Elementos algébricos e elementos transcendentes sobre um corpo. Exemplos. 
Referência aos teoremas de Lindemann (pi é transcendente sobre Q) e Hermite (e é transcendente sobre Q).
Extensões algébricas. Polinómio mínimo.

Aula 13
31/10/05

Propriedades do polinómio mínimo. Exemplos.
Determinação do grau e de uma base de uma extensão algébrica simples. 
Exemplo: determinação de extensões duplas.

Aula 14
02/11/05

Extensões transcendentes. Exemplo.
Corpos algebricamente fechados. Caracterizações dos corpos algebricamente fechados.
Extensões de decomposição. 

Aula 15
07/11/05

Extensões de decomposição: 
O teorema de existência e unicidade de Kronecker.
Exemplos.

Construções com régua e compasso.
- Problemas da geometria clássica.
- Regras para realizar tais construções.
- Exemplos de construções.

Aula 16
09/11/05

- Os quatro problemas famosos: a duplicação do cubo, a trissecção de um ângulo arbitrário, 
  a quadratura do círculo e a inscrição de um heptágono regular numa circunferência.
- Formulação da questão em termos algébricos: pontos construtíveis.
- Prova de que, dado um conjunto de pontos do plano e sendo K0 o corpo gerado pelas coordenadas 
desses pontos, se (x,y) é construtível a partir dos pontos dados então [K0(x):K0] e [K0(y):K0] 
são potências de 2.

Aula 17
14/11/05

- Solução dos problemas famosos: 
  impossibilidade da duplicação do cubo usando "régua e compasso";
  impossibilidade da trissecção do ângulo de 60o; 
  impossibilidade da quadratura do círculo; 
  impossibilidade da construção de um heptágono regular.
- Construção de n-gonos regulares: notas históricas; 
  análise da condição suficiente (de Gauss) e necessária (de Wantzel) de construtibilidade;
  os Números de Fermat.

Homomorfismos de extensões. 

Aula 18
16/11/05

Automorfismos de Galois. 
Grupo de Galois de uma extensão. Exemplos.

Aula 19
21/11/05

Grupo de Galois de um polinómio. Sua representação em termos de permutações das raízes do polinómio. 
Exemplos. Extensões de Galois.

Aula 20
23/11/05

Correspondência de Galois e Teorema Fundamental da teoria de Galois. 
Extensões puras e extensões por radicais. 
Resolução de equações por radicais: descrição do problema. Polinómios resolúveis por radicais. 

Aula 21
23/11/05

Grupos resolúveis. Exemplos.
Critério de Galois sobre a resolubilidade de equações algébricas por radicais. 
Teorema de Abel-Ruffini sobre a não existência de fórmulas resolventes para a 
equação do quinto grau.
Exemplos de polinómios do quinto grau não resolúveis por radicais. 
Exemplos de polinómios de grau arbitrário resolúveis por radicais.

Aula 22
28/11/05

IV. Corpos finitos 
Propriedades fundamentais: característica e subcorpo primo. Exemplos.
Possibilidades para a ordem de um corpo finito.
Classificação dos corpos finitos: Teorema de Moore e Teorema de Galois.
O corpo de Galois de ordem q.

Aula 23
30/11/05

Aplicações ao jogo do solitário.
Classificação dos subcorpos de um corpo finito.

Aula 24
05/12/05

Aplicações à Teoria dos Números.

Aula 25
07/12/05

Aplicações à Teoria dos Códigos.
Códigos sobre o corpo de Galois com q elementos.
Detecção e correcção de erros. Códigos t-correctores de erros.
Distância de Hamming e Teorema de Hamming.

Aula 26
19/12/05

Códigos lineares (n,k) sobre o corpo Fq. 
Síndroma e peso de uma palavra. Classes de vectores de Fqn e respectivos líderes.
Algoritmo de correcção automática dos erros.
Exemplos.

Aula 27
21/12/05

Códigos polinomiais (n,k) sobre o corpo Fq. Polinómio gerador.
Exemplos. Algoritmo de correcção automática dos erros.