Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra II

Soluções  Teste 2C  2/11/05

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações: (V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) Em ℤ_{16}[x], 4x^{2} + 2x + 4 é um divisor de zero.  ×

[8(4x^{2} + 2x + 4) = 0.]

(b) Se A[x] tem divisores de zero, então A tem divisores de zero.  ×

[Sejam p(x) = a_{n}x^{n} + ⋯ + a_{0} e q(x) = b_{m}x^{m} + ⋯ + b_{0} dois elementos de A[x], com a_{n} ≠ 0 e b_{m} ≠ 0, tais que p(x)q(x) = 0. Ent~ ao a_{n}b_{m} = 0.]

(c) ℤ_{3}[x]/⟨x^{2} + 2x + 1⟩ é um corpo.  ×

[Basta observar que o ideal ⟨x^{2} + 2x + 1⟩ n~ ao é maximal pois o
polinómio x^{2} + 2x + 1 n~ ao é irredutível sobre ℤ_{3}:  é de grau 2
e tem uma raiz em ℤ_{3}, nomeadamente o número 2.]

(d) Os polinómios x^{7} − 4x^{6} + x^{3} − 3x + 5 e 2x^{3} − 2 de ℤ_{7}[x] são primos entre si.  ×

[x^{7} − 4x^{6} + x^{3} − 3x + 5 = (2x^{3} − 2)(4x^{4} + 5x^{3} + 4x + 2) + 5x + 2 e 2x^{3} − 2 = (5x + 2)(6x^{2} − x + 6) pelo que o mdc(x^{7} − 4x^{6} + x^{3} − 3x + 5, 2x^{3} − 2)

é o polinómio mónico associado de 5x + 2, ou seja, 3(5x + 2) = x + 6.]

(e) ℂ é uma extensão algébrica de ℝ.  ×

[Todo o elemento de ℂ é algébrico sobre ℝ, pois ℂ = ℝ(i).]

2. Seja D um domínio de integridade. Mostre que:

(a) Se gr(p(x)) ≥ 2 e p(x) tem uma raiz em D, então é redutível em D[x].

Se p(x) tem uma raiz a em D então, pelo Teorema do Resto, p(x) = (x − a)q(x) para algum polinómio q(x) ∈ D[x]. Pela regra dos graus, q(x) tem necessariamente grau ≥ 1, pelo que não é uma unidade de D[x]. Portanto, (x−a)q(x) é uma factorização não trivial de p(x) em D[x], o que mostra que este polinómio é redutível em D[x].

(b) Um polinómio redutível em D[x] não tem necessariamente raízes em D.

Por exemplo, x^{4} + 2x + 1 é redutível em ℝ[x], pois x^{4} + 2x + 1 = (x^{2} + 1)^{2}, mas não tem raízes reais.