Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra II

Soluções  Teste 3A  28/11/05

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações: (V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) ℂ é uma extensão algébrica de ℝ.  ×

[ℂ = ℝ(i) e i é algébrico sobre ℝ.  Alternativa:  todo o número
complexo a + ib é algébrico sobre ℝ pois é raiz do polinómio

x^{4} − 2(a^{2} − b^{2})x^{2} + (a^{2} + b^{2})^{2}.]

(b) O polinómio x^{3} + 2x^{2} + 10 é irredutível sobre ℚ mas é redutível sobre ℤ_{13}.  ×

[Sobre ℚ:  pelo Critério de Eiseinstein (p = 2).
Sobre ℤ_{13}:  pelo critério das raízes (1 é raiz).]

(c) O polinómio x^{2} − 2x + 2 é redutível sobre ℚ(\sqrt{−3}).  ×

[As duas raízes de x^{2} − 2x + 2 s~ ao 1 ± i e n~ ao pertencem a ℚ(\sqrt{−3}),

pois ℚ(\sqrt{−3}) = \{a + b\sqrt{3}i | a, b ∈ ℚ\}.]

(d) ℝ é um corpo algebricamente fechado.  ×

[x^{2} + 1 n~ ao tem raízes reais.]

(e) O número \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} é construtível a partir de ℚ.  ×

[O número \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} corresponde ao ponto (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) do plano.
Este ponto é claramente construtível a partir de ℚ pois,
como vimos, qualquer raiz quadrada é construtível a partir de ℚ.]

2. (a) Determine a extensão ℚ(\sqrt{−3}, θ) de ℚ, onde θ^{2} − 2θ + 2 = 0.

x^{2} + 3 é o polinómio mínimo de \sqrt{−3} sobre ℚ e, por 1(c), x^{2} − 2x + 2 é o polinómio mínimo de θ sobre ℚ(\sqrt{−3}). Então

[ℚ(\sqrt{−3}, θ) : ℚ] = [ℚ(\sqrt{−3}, θ) : ℚ(\sqrt{−3})][ℚ(\sqrt{−3}) : ℚ] = 2 × 2 = 4,

pelo que ℚ(\sqrt{−3}, θ) = \{a + b\sqrt{3}i + cθ + dθ\sqrt{3}i | a, b, c, d ∈ ℚ\}.

(b) Qual é o inverso de θ nesta extensão?

θ^{2} − 2θ + 2 = 0 implica θ(θ − 2) = −2, pelo que θ \frac{θ−2}{−2} = 1. Portanto θ^{−1} = \frac{θ−2}{−2} = 1 − \frac{1}{2}θ.