Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra II

Duração: 20m  Teste 2A  31/10/05

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações: (V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) Se C é um corpo, então C[x] é um corpo.

(b) 4x + 1 não é uma unidade de ℤ_{8}[x].

(c) Para qualquer anel A e quaisquer p(x), q(x) ∈ A[x], tem-se gr(p(x)q(x)) = gr(p(x)) + gr(q(x)).

(d) Os polinómios 2x e x + 2 de 𝔽_{3}[x] são primos entre si.

(e) A função h : ℚ[x] → ℚ definida por h(∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}5^{n}

é um homomorfismo de anéis.

2. (a) Calcule o produto (2x^{2} + x + 1)(2x^{2} + 3x + 2) em ℤ_{m}[x], para m = 2, 3, 6. (b) x^{4} + 2x^{3} + 2x + 2 é irredutível em ℤ_{3}[x]?