Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra II

Duração: 20m  Teste 2B  2/11/05

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações: (V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) Em ℤ_{8}[x], 4x^{2} + 2x + 4 é um divisor de zero.

(b) Se A[x] tem divisores de zero, então A tem divisores de zero.

(c) O anel das matrizes quadradas de ordem 20 com elementos no corpo ℤ_{5} tem característica 20.

(d) Em ℤ_{3}[x], mdc(x^{7} + x^{6} + 2x^{5} + x^{3} + 2x^{2} + 2x, 2x^{5} + x^{3} + 2x^{2} + 1) = x^{2} + 2.

(e) ℝ é uma extensão algébrica de ℚ.

2. Seja D um domínio de integridade. Mostre que:

(a) Um polinómio redutível em D[x] não tem necessariamente raízes em D.

(b) Se gr(p(x)) ≥ 2 e p(x) tem uma raiz em D, então é redutível em D[x].