Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra II

Duração: 20m  Teste 2C  2/11/05

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações: (V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) Em ℤ_{16}[x], 4x^{2} + 2x + 4 é um divisor de zero.

(b) Se A[x] tem divisores de zero, então A tem divisores de zero.

(c) ℤ_{3}[x]/⟨x^{2} + 2x + 1⟩ é um corpo.

(d) Os polinómios x^{7} − 4x^{6} + x^{3} − 3x + 5 e 2x^{3} − 2 de ℤ_{7}[x] são primos entre si.

(e) ℂ é uma extensão algébrica de ℝ.

2. Seja D um domínio de integridade. Mostre que:

(a) Se gr(p(x)) ≥ 2 e p(x) tem uma raiz em D, então é redutível em D[x].

(b) Um polinómio redutível em D[x] não tem necessariamente raízes em D.