Aula 1 13/09/06 Apresentação do curso: Programa, Bibliografia e Avaliação. I. Anéis e Corpos. Anéis: motivação e definição. Notas históricas. Exemplos. Propriedades básicas. Anéis comutativos e anéis unitários. Exemplos.
Aula 2 19/9/06 Divisores de zero. Domínios de integridade. Exemplos. Elementos invertíveis. Corpos. Exemplos. Resoluções dos exercícios 1.3 e 1.6(a).
Aula 3 20/9/06 Subanéis e ideais. Exemplos. Exercícios 1.9 (a), (b). Ideais principais. Construção dos ideais principais. Exemplos. Anel quociente: construção; exemplos.
Aula 4 26/9/06 Quando é que um anel quociente A/I é um domínio de integridade? E um corpo?: Ideais primos e ideais maximais. Definição e exemplos. Determinação dos ideias primos e maximais no anel dos inteiros. Resolução do Exercício 1.20.
Aula 5 27/9/06 Mais exemplos de anéis quociente. Exercício 1.18. Homomorfismos de anéis. Exercício 1.22 (e). Aplicações: critérios de divisibilidade (por 2, 3, 5, 6, 9, 11, etc.) nos inteiros.
Aula 6 3/10/06 Característica de um anel. II. Anéis polinomiais. Definição de polinómio com coeficientes num anel A. Soma e produto (de convolução) de polinómios. O anel A[x]. O anel A[x] é uma extensão de A. Polinómios e funções polinomiais. A indeterminada x. Grau de um polinómio. Propriedades.
Aula 7 4/10/06 Algoritmo de Divisão nos anéis de polinómios. Teste escrito.
Aula 8 10/10/06 Exercício 2.5. Consequências do Algoritmo da Divisão. Teorema do Resto. Raízes de um polinómio. Exemplos. Conclusão de que os anéis de polinómios com coeficientes num corpo são domínios de ideais principais.
Aula 9 11/10/06 Máximo divisor comum. Algoritmo de Euclides. Mínimo múltiplo comum. Polinómios irredutíveis. Exemplos.
Aula 10 17/10/06 Exercício 2.13. Critérios de irredutibilidade: critério da raiz, critério de Eisenstein e Lema de Gauss. Determinação dos polinómios irredutíveis sobre os complexos, os reais e os racionais.
Aula 11 18/10/06 Propriedades dos polinómios irredutíveis. Exercício 2.10. Factorização única nos domínios C[x] (onde C é um corpo). Teorema da Factorização Única.
Aula 12 24/10/06 III. Teoria de Galois. Motivação. Subcorpos. Corpos primos: Definição. Exemplos. Subcorpos primos. Extensões de corpos. As extensões vistas como espaços vectoriais. Grau de uma extensão. Extensões finitas. Exemplos. Teorema da Torre.
Aula 13 25/10/06 Elementos algébricos e elementos transcendentes sobre um corpo. Exemplos. Referência aos teoremas de Lindemann (pi é transcendente sobre Q) e Hermite (e é transcendente sobre Q). Extensões algébricas. Polinómio mínimo. Propriedades do polinómio mínimo. Exemplos.
Aula 14 31/10/06 Determinação do grau e de uma base de uma extensão algébrica simples. Exercícios 3.7 e 3.9. Extensões transcendentes.
Aula 15 07/11/06 Exemplo de extensão transcendente. Corpos algebricamente fechados. Caracterizações dos corpos algebricamente fechados. Extensões de decomposição: O teorema de existência e unicidade de Kronecker. Exemplos.
Aula 16 08/11/06 Conclusão da aula anterior. Teste escrito.
Aula 17 14/11/06 Construções com régua e compasso. - Problemas da geometria clássica. - Regras para realizar tais construções. - Exemplos de construções. - Os quatro problemas famosos: a duplicação do cubo, a trissecção de um ângulo arbitrário, a quadratura do círculo e a inscrição de um heptágono regular numa circunferência. - Formulação da questão em termos algébricos: pontos construtíveis. - Prova de que, dado um conjunto de pontos do plano e sendo K0 o corpo gerado pelas coordenadas desses pontos, se (x,y) é construtível a partir dos pontos dados então [K0(x):K0] e [K0(y):K0] são potências de 2.
Aula 18 15/11/06 - Solução dos problemas famosos: impossibilidade da duplicação do cubo usando "régua e compasso"; impossibilidade da trissecção do ângulo de 60o; impossibilidade da quadratura do círculo; impossibilidade da construção de um heptágono regular. - Construção de n-gonos regulares: notas históricas; análise da condição suficiente (de Gauss) e necessária (de Wantzel) de construtibilidade; os Números de Fermat.
Aula 19 21/11/06 Homomorfismos de extensões. Automorfismos de Galois. Grupo de Galois de uma extensão. Exemplos.
Aula 20 22/11/06 Grupo de Galois de um polinómio. Sua representação em termos de permutações das raízes do polinómio. Exemplos. Extensões de Galois.
Aula 21 28/11/06 Correspondência de Galois e Teorema Fundamental da teoria de Galois. Extensões puras e extensões por radicais. Resolução de equações por radicais: descrição do problema. Polinómios resolúveis por radicais. Grupos resolúveis.
Aula 22 29/11/06 Exemplos de grupos resolúveis. Critério de Galois sobre a resolubilidade de equações algébricas por radicais. Teorema de Abel-Ruffini sobre a não existência de fórmulas resolventes para a equação do quinto grau. Exemplos de polinómios do quinto grau não resolúveis por radicais. Exemplos de polinómios de grau arbitrário resolúveis por radicais.
Aula 23 5/12/06 IV. Corpos finitos Propriedades fundamentais: característica e subcorpo primo. Exemplos. Possibilidades para a ordem de um corpo finito. Classificação dos corpos finitos: Teorema de Moore e Teorema de Galois. O corpo de Galois de ordem q.
Aula 24 6/12/06 Aplicações ao jogo do solitário. Teste escrito.
Aula 25 12/12/06 Classificação dos subcorpos de um corpo finito. Aplicações à Teoria dos Códigos. Códigos sobre o corpo de Galois com q elementos. Detecção e correcção de erros. Códigos t-correctores de erros. Distância de Hamming.
Aula 26 13/12/06 Teorema de Hamming. Códigos lineares (n,k) sobre o corpo Fq. Exemplos.
Aula 27 19/12/06 Síndroma e peso de uma palavra. Classes de vectores de Fqn e respectivos líderes. Algoritmo de correcção automática dos erros.
Aula 28 20/12/06 Códigos polinomiais (n,k) sobre o corpo Fq. Polinómio gerador. Exemplos. Algoritmo de correcção automática dos erros.