TEORIA COMBINATÓRIA


Sumários



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Aula  nº1
28/02/03

1. Apresentação do curso: O que é a Teoria Combinatória? Problemas motivadores. 2. Princípios de existência O princípio dos pombais e suas generalizações. Aplicações.



Aula nº2
Dia: 7/3/03

3. Princípios fundamentais de contagem O princípio fundamental de contagem: princípio da multiplicação; Sobre o ensino da Combinatória: estratégias gerais a seguir nos problemas de contagem. Arranjos e combinações sem repetição; permutações. Teorema binomial. Coeficientes binomiais. Triângulo de Pascal.



Aula nº3
Dia: 8/3/03

Generalização do teorema binomial: o teorema multinomial. Coeficientes multinomiais. Princípio da adição. Princípio da inclusão-exclusão: motivação.



Aula nº4
Dia: 14/3/03

Princípio da inclusão-exclusão: conjectura e demonstração. Exemplo.



Aula nº5
Dia: 15/3/03

Exemplos de aplicação: solução do problema dos desencontros; número de funções sobrejectivas de um conjunto com m elementos num conjunto com n elementos. 4. Combinações e arranjos com repetição Multiconjuntos. Estudo dos casos nos quais não se impõem restrições ao número de vezes que cada elemento é repetido.



Aula nº6
Dia: 21/3/03

Estudo dos casos nos quais se impõem restrições ao número de vezes que cada elemento é repetido.



Aula nº7
Dia: 22/3/03

Conclusão da aula anterior. Observação de como os casos particulares relevantes saem de forma elegante das fórmulas gerais deduzidas. Algumas propriedades dos coeficientes binomiais e o triângulo de Pascal. Análise das dificuldades no estabelecimento de uma fórmula geral de cálculo para o número de arranjos com repetição.



Aula nº8
Dia: 28/3/03

5. Partições Partições (distribuições) ordenadas e não ordenadas: motivação; exemplos. Determinação do número de partições ordenadas de um conjunto com n elementos em r subconjuntos, tais que o i-ésimo subconjunto possui ni elementos. Determinação do número das correspondentes partições não ordenadas. Determinação do número de partições ordenadas de um conjunto com n elementos em r subconjuntos.



Aula nº9
Dia: 29/3/03

Estudo do caso em que os subconjuntos não são vazios. Determinação do número das correspondentes partições não ordenadas: Números de Stirling de segunda espécie; propriedades e construção do triângulo de Stirling.



Aula nº10
Dia: 4/04/03

Números de Bell. Triângulo de Bell. Determinação do número de partições não ordenadas de um conjunto com n elementos em r subconjuntos.



Aula nº11
Dia: 5/4/03

6. A tabela dos 12 caminhos. Partições numéricas. Diagramas de Ferrers. (mais informação aqui).



Aula nº12
Dia: 11/4/03

Alguns resultados sobre partições numéricas. 6. Relações de recorrência Um problema geométrico (de Steiner). Abordagens ad hoc.



Aula nº13
Dia: 12/4/03

Relações de recorrência lineares, homogéneas, com coeficientes constantes. Princípio da sobreposição. Polinómio característico e raízes características. Método geral de resolução das relações de recorrência lineares, homogéneas, com coeficientes constantes (caso em que as raízes características têm multiplicidade 1).



Aula nº14
Dia: 2/5/03

Referências ao caso geral e ao caso das relações de recorrência lineares com coeficientes constantes, não homogéneas. Exemplos.