Aula 1 13/02/2012 Apresentação do curso: Programa, Bibliografia e Avaliação. I. Anéis e Corpos. Anéis: motivação e definição. Notas históricas. Exemplos. Propriedades básicas. Anéis comutativos e anéis unitários. Exemplos.
Aula 2 14/02/2012 Mais exemplos de anéis. Elementos invertíveis. Corpos. Exemplos. Resolução do exercício 1 (a)(c)(e)(f).
Aula 3 20/02/2012 Conclusão do exercício 1. Divisores de zero. Domínios de integridade. Exemplos. Resolução dos exercícios 3, 4 e 5.
Aula 4 21/2/2012 Subanéis e ideais. Exemplos. Ideais principais. Construção dos ideais principais. Exemplos. Exercícios 11, 12, 13 e 16.
Aula 5 27/2/2012 Anéis quociente. Exemplo (exercício 20). Quando é que um anel quociente A/I é um domínio de integridade? E um corpo?: Ideais primos e ideais maximais. Definição e exemplos. Determinação dos ideias primos e maximais no anel dos inteiros. Resolução dos Exercícios 17(a) e 19.
Aula 6 28/2/2012 Continuação da aula anterior. Mais exemplos de anéis quociente. Exercício 22. Homomorfismos de anéis. Isomorfismos.
Aula 7 12/3/2012 Mais exemplos de anéis quociente. Exercício 21. Teste escrito.
Aula 8 13/3/2012 Exemplos de homomorfismos de anéis. Exercício 29 (e). Aplicações: critérios de divisibilidade (por 2, 3, 5, 6, 9, 11, etc.) nos inteiros. Característica de um anel. Exercícios 31 e 34. Corpo das fracções de um domínio de integridade.
Aula 9 14/3/2012 II. Anéis de polinómios. Definição de polinómio com coeficientes num anel A. Soma e produto (de convolução) de polinómios. O anel A[x]. O anel A[x] é uma extensão de A. A indeterminada x. Forma canónica de um polinómio. Grau de um polinómio. Propriedades. Algoritmo de Divisão nos anéis de polinómios. Exercícios 1, 3, 5.
Aula 10 19/3/2012 Exercícios 6 e 7. Consequências do Algoritmo da Divisão. Teorema do Resto. Raízes de um polinómio. Exemplos. Exercício 8. Conclusão de que os anéis de polinómios com coeficientes num corpo são domínios de ideais principais.
Aula 11 20/3/2012 Conclusão da aula anterior. Exercício 12 (a)(b)(c). Máximo divisor comum. Algoritmo de Euclides.
Aula 12 26/3/2012 Cálculo do mdc. Exercício 10. Relação de Bézout. Polinómios irredutíveis. Exemplos. Determinação dos polinómios irredutíveis sobre os complexos e os reais. Breve referência ao Teorema Fundamental da Álgebra.
Aula 13 27/3/2012 Unidades e associados num domínio; elementos primos e irredutíveis; sua relação. Casos particulares: corpos, anel dos inteiros, anel dos polinómios com coeficientes num corpo. Propriedades dos polinómios irredutíveis; relação com os ideais maximais.
Aula 14 10/4/2012 Factorização única nos domínios C[x] (onde C é um corpo). Teorema da Factorização Única. Exercícios 14, 19, 20, 21. Critérios de irredutibilidade sobre Q.
Aula 15 16/4/2012 Exercício 12 revisitado. Exercícios 25, 27(b) e 29. III. Teoria de Galois. Motivação. Subcorpos. Corpos primos: Definição. Exemplos. Subcorpos primos.
Aula 16 17/4/2012 Extensões de corpos. As extensões vistas como espaços vectoriais. Grau de uma extensão. Extensões finitas. Exemplos. Teorema da Torre.
Aula 17 23/4/2012 Elementos algébricos e elementos transcendentes sobre um corpo. Exemplos. Referência aos teoremas de Lindemann (pi é transcendente sobre Q) e Hermite (e é transcendente sobre Q). Extensões algébricas. Polinómio mínimo. Teste escrito.
Aula 18 24/4/2012 Extensões algébricas. Polinómio mínimo. Propriedades do polinómio mínimo. Exemplos. Determinação do grau e de uma base de uma extensão algébrica simples. Exercícios 5 e 6.
Aula 19 30/4/2012 Extensões transcendentes. Cálculo de polinómios mínimos e extensões algébricas duplas. Exercícios 2, 9 (a)(c) e 15(a).
Aula 20 14/5/2012 Exercícios 15 (c)(d)(g). Extensões de decomposição: O teorema de existência e unicidade de Kronecker. Exemplos.
Aula 21 15/5/2012 Exercício 20. Corpos algebricamente fechados. Caracterizações dos corpos algebricamente fechados. Construções com régua e compasso. - Problemas da geometria clássica. - Regras para realizar tais construções. - Exemplos de construções. - Os quatro problemas famosos: a duplicação do cubo, a trissecção de um ângulo arbitrário, a quadratura do círculo e a inscrição de um heptágono regular numa circunferência. - Formulação da questão em termos algébricos: pontos construtíveis.
Aula 22 21/5/2012 - Prova de que, dado um conjunto de pontos do plano e sendo K0 o corpo gerado pelas coordenadas desses pontos, se (x,y) é construtível a partir dos pontos dados então [K0(x):K0] e [K0(y):K0] são potências de 2. - Solução dos problemas famosos: impossibilidade da duplicação do cubo usando "régua e compasso"; impossibilidade da trissecção do ângulo de 60o; impossibilidade da quadratura do círculo; impossibilidade da construção de um heptágono regular. Exercícios 23 e 24.
Aula 23 22/5/2012 Exercício 26. Homomorfismos de extensões. Automorfismos de Galois.
Aula 24 28/5/2012 Grupo de Galois de uma extensão. Exemplos. Grupo de Galois de um polinómio. Sua representação em termos de permutações das raízes do polinómio. Exemplos.
Aula 25 29/5/2012 Extensões puras e extensões por radicais. Resolução de equações por radicais: descrição do problema. Polinómios resolúveis por radicais. Grupos resolúveis. Critério de Galois sobre a resolubilidade de equações algébricas por radicais. Teorema de Abel-Ruffini sobre a não existência de fórmulas resolventes para a equação do quinto grau.
Aula 26 4/6/2012 Prova de frequência.
Aula 27 5/6/2012 Discussão sobre a resolução da frequência. Aplicações da teoria dos corpos à teoria algébrica dos códigos: breve digressão, ilustrada com alguns exemplos de códigos lineares e códigos polinomiais.