Aula nº 1 Dia: 15/02/2012 Apresentação do curso: Programa, Bibliografia e Avaliação. Breves notas históricas. I - CURVAS EM R3 1. PRELIMINARES: O espaço euclidiano Rn. Funções vectoriais de variável real.
Aula nº 2 Dia: 17/02/2012 Resolução dos Exercícios 1.2 (a)(b)(c)(d) e 1.3. 2. O QUE É UMA CURVA?: curvas de nível e curvas parametrizadas. Exemplos. Resolução dos Exercícios 1 (a) e (b), 2 e 3 (c). Curvas suaves. Vector e recta tangentes a uma curva. Velocidade.
Aula nº 3 Dia: 22/02/2012 Exercício 10 (a). Comprimento de arco. Exercício 13 (a). Curvas parametrizadas por comprimento de arco. Propriedades das curvas parametrizadas por comprimento de arco. Mudança de parâmetro e reparametrização. Propriedades das mudanças de parâmetro. Exemplos.
Aula nº 4 Dia: 24/02/2012 O comprimento de uma curva é uma propriedade geométrica (ou seja, não depende da parametrização). Exercícios 14(b), 11, 12. Curvas regulares. Existência de reparametrizações por comprimento de arco de qualquer curva regular. Exercício 23. Análise das dificuldades que poderão surgir aquando da determinação prática dessas reparametrizações.
Aula nº 5 Dia: 29/02/2012 Determinação de todas as reparametrizações por comprimento de arco de qualquer curva regular. A ciclóide. Exercício 5. 3. CURVATURA E TORSÃO. TRIEDRO DE FRENET-SERRET: Motivação para a definição de curvatura. Curvatura de uma curva parametrizada por comprimento de arco - casos da recta, circunferência e hélices. Curvas cuja curvatura se anula num intervalo do seu domínio. Curvatura de uma curva genérica.
Aula nº 6 Dia: 2/3/2012 Exercícios 3.5, 2.25, 2.26 e 3.2. Definição do triedro de Frenet-Serret para curvas parametrizadas por comprimento de arco. Conclusão de que se trata de uma base ortonormada de R3. Rectas tangente, normal principal e binormal de uma curva. Planos normal, osculador e rectificante de uma curva. Torsão: caso em que a curva está parametrizada por comprimento de arco.
Aula nº 7 Dia: 14/3/2012 Torsão: caso geral. Exercícios 5 e 6. Fórmulas de Frenet-Serret. Definição do triedro de Frenet-Serret (caso geral). Fórmulas de Frenet-Serret (caso geral).
Aula nº 8 Dia: 16/3/2012 Significado geométrico da torsão ser nula: a curva está contida no plano osculador em qualquer um dos seus pontos. Caracterização das curvas planas com curvatura constante. Teste escrito.
Aula nº 9 Dia: 21/3/2012 Exercícios 13 e 15. Exercício 1 da secção 4 (curvas planas).
Aula nº 10 Dia: 21/3/2012 Propriedades das curvas esféricas. Exercícios 16(a)(b) e 17. 4. CURVAS PLANAS: Vector normal com sinal. Curvatura com sinal. Interpretação geométrica da curvatura com sinal. Dedução de fórmulas para o cálculo da curvatura com sinal.
Aula nº 11 Dia: 23/3/2012 Exercícios 3 e 4. Movimentos rígidos em R2: rotações e translações. Teorema fundamental das curvas planas. Exemplos. A clotóide. Mais exemplos e exercícios no computador, usando alguns aplicativos do Atractor.
Aula nº 12 Dia: 28/03/2012 Exercícios práticos de aplicação do algoritmo dado pela demonstração do teorema fundamental. Análise das suas dificuldades práticas. Exemplo: a clotóide. Exercícios 6(a)(b) e 2.
Aula nº 13 Dia: 30/03/2012 5. TEOREMA FUNDAMENTAL DAS CURVAS: Exemplos (usando o programa Mathematica e alguns aplicativos do Atractor). 6. HÉLICES GENERALIZADAS: Definição. Exemplos. Caracterização das hélices generalizadas em termos da torsão e da curvatura (Teorema de Lancret). Determinação do eixo de uma hélice generalizada. Caracterização das curvas esféricas em termos da torsão e da curvatura. Determinação do centro e raio da esfera respectiva. Exercício 5.2.
Aula nº 14 Dia: 11/04/2012 Resolução de exercícios sobre curvas planas e hélices generalizadas.
Aula nº 15 Dia: 13/04/2012 II - SUPERFÍCIES EM R3 1. PRELIMINARES: O espaço métrico Rn. Continuidade e diferenciabilidade em Rn 2. O QUE É UMA SUPERFÍCIE?: Motivação. Definição e exemplos de superfícies (1,2,3,4,5).
Aula nº 16 Dia: 18/04/2012 Prova de que a esfera é uma superfície. O número mínimo de parametrizações possível é dois: atlas da esfera em termos das coordenadas geográficas (latitude e longitude). Coordenadas esféricas (azimute e zénite). Atlas da esfera em termos das coordenadas cartesianas.
Aula nº 17 Dia: 20/04/2012 Outro atlas da esfera: projecções estereográficas. Mais exemplos de superfícies: gráficos de funções f:U®R (U=aberto de R2). O parabolóide elíptico e o parabolóide hiperbólico. Superfícies de nível. Valor regular de f:U®R (U=aberto de R3). A imagem inversa por f:U®R (U=aberto de R3) de um valor regular é uma superfície. Exemplos: elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, toro. Mais um exemplo: se removermos o vértice do cone duplo obtemos uma superfície. Mudança de coordenadas de um mapa para outro, num atlas. A composição de uma mudança de coordenadas com um mapa ainda é um mapa. Reparametrizações.
Aula nº 18 Dia: 27/04/2012 3. ALGUMAS CLASSES ESPECIAIS DE SUPERFÍCIES. Quádricas: Redução de uma quádrica. Exemplo. Quais são superfícies. Cilindros generalizados. Teste escrito.
Aula nº 19 Dia: 2/05/2012 Cones generalizados. Tubos e conchas. Superfícies regradas. Superfícies de revolução. Exercício 3.4.
Aula nº 20 Dia: 4/05/2012 Exercícios 3.5 e 3.6. 4. TANGENTES E NORMAIS Curva numa superfície S. Vector tangente a uma superfície num ponto. Determinação do espaço vectorial tangente a uma superfície num ponto. Plano tangente a uma superfície num ponto. Vectores normais unitários.
Aula nº 21 Dia: 16/5/2012 Execícios 4.1 e 4.4. Normal unitária standard. Superfícies orientáveis. Exemplos de superfícies orientáveis. Caso particular em que S é dada pela imagem inversa por f:U->R (U=aberto de R3) de um valor regular de f. Exemplo de superfície não orientável: a fita de Möbius. 5. PRIMEIRA FORMA FUNDAMENTAL: Primeira forma fundamental de uma superfície num ponto. Exemplos.
Aula nº 22 Dia: 18/5/2012 Exercício 4.12. Geodésicas. Geodésicas numa esfera. Determinação do comprimento de uma curva contida na superfície. Difeomorfismos. Isometrias. Caracterização das isometrias em termos da primeira forma fundamental. Exemplos de isometrias: planificação de um cilindro.
Aula nº 23 Dia: 23/5/2012 Exemplos de cálculo de comprimentos de curvas numa superfície. Determinação do ângulo de intersecção de duas curvas numa superfície. Exemplos: ângulo entre meridianos e paralelos numa superfície genérica. Mapas ortogonais. Aplicações conformais. Caracterização das aplicações conformais em termos da primeira forma fundamental. Exemplos: projecção estereográfica.
Aula nº 24 Dia: 25/5/2012 Determinação de áreas de regiões contidas numa superfície. Cálculo da área de uma esfera e da área de um fuso. Aplicações equiareais. Caracterização em termos da primeira forma fundamental. Teorema de Arquimedes. Aplicação da projecção de Arquimedes ao cálculo da área de um fuso na esfera. Execícios 5.7, 5.8.
Aula nº 25 Dia: 30/5/2012 Dedução da Fórmula de Girard a partir da área de um fuso. Exercícios 5.9, 5.3 e 5.4.
Aula nº 26 Dia: 1/6/2012 Mapas conformais, equiareais e isométricos. Exercício 5.5. 6. A SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL: Segunda forma fundamental de uma superfície. Curvaturas gaussiana e média de uma superfície num ponto. Determinação das curvaturas gaussiana e média de uma superfície num ponto a partir do conhecimento de uma sua parametrização. Exemplos. Natureza dos pontos de uma superfície: elípticos, hiperbólicos, parabólicos ou planares. Exercícios 6.2 e 6.1.
Aula nº 27 Dia: 6/6/2012 Exercício 8: classificação dos pontos de um toro. Derivada de uma função f:S1-->S2 entre superfícies. A aplicação de Gauss G:S-->S2. Exemplos. Propriedades da sua derivada G*p. Curvaturas principais e direcções principais de uma superfície num ponto.
Aula nº 28 Dia: 8/6/2012 Prova de frequência.