GEOMETRIA DIFERENCIAL

2004/05

2º Semestre, 2º Ano
Licenciaturas em Matemática e Engenharia Geográfica

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Novidades:
(22/7/05) Enunciado do Exame da Época de Recurso.
                Está previsto as notas serem afixadas na quinta-feira, 28, por volta das 12h. As provas podem ser consultadas nessa altura.
(14/7/05) Notas do Exame.
(06/7/05) Enunciado e correcção do Exame.
(30/5/05) Classificações do mini-teste nº 2 (ficheiro pdf).
(25/5/05) Enunciado do mini-teste nº 2.
(18/5/05) Veja aqui a lista dos exercícios para o mini-teste nº 2.
                Um deles será avaliado nas aulas de 25/5/05 (quarta-feira).
(12/4/05) Foi actualizada a página de animações e informação adicional sobre os problemas e os exemplos dos apontamentos.

Docentes

 
Aulas teóricas:
	Jorge Picado
	Gabinete: 6.5
	Horário de Atendimento: Quinta-feira (14.30h-17.30h)*
	telef.: 239791155
	e-mail: picado@mat.uc.pt
	URL: http://www.mat.uc.pt/~picado/

	* Ou outro dia e hora a combinar (por e-mail ou no final da aula)

Aulas práticas:
	Armando Gonçalves
	Gabinete: 2.4
	Horário de Atendimento: Quarta-feira  (14h-16h), quinta-feira (18h-19h, no Departamento de Engenharia Química)
	e-mail: adsg@mat.uc.pt
	URL: http://www.mat.uc.pt/~adsg/

Programa

    I- Curvas em R3.
   1- Preliminares.
   2- O que é uma curva?: 
      Curvas de nível e curvas parametrizadas. 
      Curvas regulares.
      Comprimento de arco e parametrização 
      por comprimento de arco.
   3- Curvatura e torsão. Triedro de Frenet-Serret. 
      Fórmulas de Frenet-Serret.
   4- Curvas planas.
   5- Teorema Fundamental das Curvas.
   6- Algumas classes especiais de curvas.
   
II- Superfícies em R3.
   1- Preliminares.
   2- O que é uma superfície?: 
      Definição e exemplos. Mudança de parâmetros. 
      Aplicações diferenciáveis entre superfícies.
   3- Tangentes e normais. Orientabilidade.
   4- Algumas classes especiais de superfícies: 
      Superfícies de revolução, superfícies quádricas, 
      cilindros e cones generalizados, superfícies regradas.	
   5- Primeira forma fundamental. 
      Isometrias, aplicações equiareais e conformais.
      Aplicações ao cálculo de áreas, comprimentos e ângulos.
   6- A aplicação de Gauss e a segunda forma fundamental.
   7- O Teorema Egregium de Gauss.
Resumo: Em Geometria Diferencial estudam-se objectos de natureza geométrica --- curvas e superfícies --- usando as técnicas do cálculo diferencial e integral. A geometria diferencial clássica engloba o estudo das propriedades das curvas e superfícies no espaço euclidiano. Tem as suas origens no século XIX, com os primórdios da Análise, e nela se estudam as propriedades locais, isto é, aquelas que dependem somente do comportamento da curva ou superfície na vizinhança de um ponto. Por isso é usual chamar-lhe teoria local de curvas e superfícies. A geometria diferencial moderna estuda a influência das propriedades locais no comportamento de toda a curva ou superfície (teoria global de curvas e superfícies) e estende o estudo aos espaços não euclidianos e variedades de qualquer dimensão, baseando-se ainda, no entanto, nos métodos do cálculo diferencial e integral.
Neste curso abordamos os temas clássicos da geometria diferencial: curvas e superfícies no espaço. Estudamos assim resultados obtidos na sua quase totalidade no século XIX. Curvas e superfícies são objectos que qualquer pessoa pode ver, e muitas das questões que podem ser levantadas sobre estes objectos são óbvias e naturais. A geometria diferencial preocupa-se com a formulação matemática de algumas dessas questões e em tentar encontrar respostas para elas, usando as técnicas do cálculo diferencial. Num primeiro capítulo dedicamo-nos ao estudo das curvas. Num segundo (e último) capítulo estudamos a teoria local das superfícies, cuja génese se deve a Gauss com o seu famoso trabalho Disquisitiones generales circa superficies curvas (Comm. Soc. Gottingen Bd 6, 1823-1827). Tentamos seguir sempre a abordagem mais directa e simples a cada resultado, mantendo sempre os pré-requisitos no mínimo possível. Esta parece-nos ser a abordagem certa para um primeiro estudo da geometria diferencial, motivando os conceitos e os problemas e fundamentando a intuição.

Bibliografia

J. Picado, Apontamentos de Geometria Diferencial, 2003.

A. Gray, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, CRC Press, 1993 (53-01/GRA).
O. Neto, Tópicos de Geometria, Universidade Aberta, 1999 (51N/NET).
A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer-Verlag, 2001 (53-01/PRE).

M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, 1976 (53C/CAR).
W. Kuhnel, Differential Geometry: Curves, Surfaces, Manifolds, AMS, 2002 (53-01/KUH).

Avaliação

Da avaliação constam:

1. Duas fichas de exercícios (TPC)
2. exame final
3. prova complementar

As fichas de exercícios (TPCs) são para resolver fora da aula, com um momento de avaliação que consiste na
resolução sem consulta de um dos exercícios dessa lista durante 15 minutos no final de uma aula prática. 
Cotação de cada TPC: 1.5 valores

Nota final = n+2t(20-n)/27 * 

n=melhor das notas obtidas no exame
t=nota dos TPC

* Defesa de nota, através de prova complementar, para os alunos que obtenham nota final superior a 16.

Datas dos exames: Época normal:  6 de Julho de 2005 às 9 horas
                  Época de recurso:  22 de Julho de 2005 às 9 horas.