Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Geometria Diferencial

Duração: 30m  Teste 1A  6/03/06

Soluções

O primeiro grupo de questões é de escolha múltipla; uma resposta certa terá a cotação máxima que lhe for atribuída e uma resposta errada perderá metade dessa cotação (desde que a nota do teste permaneça não negativa).

1. Em cada uma das alíneas seguintes indique o valor lógico das afirmações:

(V: verdadeira; F: falsa) V F

(a) Para quaisquer x, y ∈ ℝ^{3} \ {0}, (x|y) = 0 se e só se x e y são

linearmente independentes.  ×

[Sendo x, y ≠ 0, ent~ ao (x | y) = 0 ⇔ cos ∡(x, y) = 0 ⇔ x⊥y. Portanto,

todos os pares de vectores x, y n~ ao ortogonais e n~ ao paralelos s~ ao
exemplos de vectores linearmente independentes para os quais
(x | y) ≠ 0.  Por exemplo, x = (0, 1, 0) e (0, 1, 1) s~ ao linearmente
independentes mas (x | y) = 1 ≠ 0.]

(b) A curva γ_{a} : ℝ → ℝ^{3}, t ↦ (1, at^{2}, t^{3}), é regular para qualquer a ∈ ℝ \ {0}.  ×

[γ′_{a}(t) = (0, 2at, 3t^{2}) pelo que γ′_{a}(0) = (0, 0, 0).]

(c) Numa curva parametrizada por comprimento de arco, B′(s) = −τ(s)N(s).  ×

[É a terceira fórmula de Frenet-Serret.]

(d) O comprimento da espiral γ(t) = (e^{−t} cos t, e^{−t} sin t) em [0, +∞) é igual a \sqrt{2}. ×

[Como γ′(t) = (−e^{−t} cos t − e^{−t} sin t, −e^{−t} sin t + e^{−t} cos t), ent~ ao ∥γ′(t)∥^{2} = e^{−2t}(cos t + sin t)^{2} + e^{−2t}(cos t − sin t)^{2} = e^{−2t} + e^{−2t} = 2e^{−2t}. Portanto, ∫_{0}^{t} ∥γ′(u)∥ du = ∫_{0}^{t} \sqrt{2}e^{−u} du = \sqrt{2}[−e^{−u}]_{0}^{t} = \sqrt{2}(−e^{−t} + 1), pelo que lim_{t→+∞} ∫_{0}^{t} ∥γ′(u)∥ du = \sqrt{2}.]

2. (a) A curva γ : ℝ → ℝ^{3} definida por γ(s) = (\frac{5}{13} cos s, \frac{18}{13} −sin s, −\frac{12}{13} cos s) está parametrizada por comprimento de arco?

Sim: γ′(s) = (−\frac{5}{13} sin s, − cos s, \frac{12}{13} sin s) donde

∥γ′(s)∥^{2} = ((\frac{5}{13})^{2} + (\frac{12}{13})^{2}) sin^{2} s + cos^{2} s = sin^{2} s + cos^{2} s = 1,

para todo o s ∈ ℝ.

(b) Determine a sua curvatura e a sua torsão. A curva é plana?

Como γ′′(s) = (−\frac{5}{13} cos s, sin s, \frac{12}{13} cos s), então k(s) = ∥γ′′(s)∥ = \sqrt{cos^{2} s + sin^{2} s} = 1. Por outro lado, N(s) = \frac{T′(s)}{k(s)} = (−\frac{5}{13} cos s, sin s, \frac{12}{13} cos s). Então B(s) = T (s) ∧ N(s) é igual a

| \begin{matrix}e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ −\frac{5}{13} sin s & − cos s & \frac{12}{13} sin s \\ −\frac{5}{13} cos s & sin s & \frac{12}{13} cos s \end{matrix} | = (−\frac{12}{13}(cos^{2} s + sin^{2} s), 0, −\frac{5}{13}(cos^{2} s + sin^{2} s))
= (−\frac{12}{13}, 0, −\frac{5}{13}).

Portanto, B′(s) = 0 para qualquer s ∈ ℝ. Consequentemente, τ(s) = 0 para qualquer s ∈ ℝ, pelo que a curva é plana. (Uma vez que a curvatura também é constante, trata-se de uma circunferência de raio 1.)