Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Geometria Diferencial

Duração: 30m  Teste 3A  27/04/06

Soluções

1. Diga, justificando sucintamente, qual é o valor lógico das seguintes afirmações:

(a) S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | z(z − 2) + xy = 2} é uma superfície.

Verdadeiro, pois S = f^{−1}(2) onde f : ℝ^{3} → ℝ, definida por f(x, y, z) = z(z − 2) + xy, é uma função suave, e 2 é um valor regular de f. De facto, ∇_{f}(x, y, z) = (y, x, 2z − 2) só se anula no ponto (0, 0, 1) e este ponto não é um ponto de S.

(b) Para qualquer função suave f : U ⊆ ℝ^{3} → ℝ e para qualquer a ∈ f(U), f^{−1}(a) = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | f(x, y, z) = a} é uma superfície.

Falso: o cone duplo C = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} = z^{2}} coincide com f^{−1}(0) para f : ℝ^{3} → ℝ definida por f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} − z^{2}, mas pelo que vimos nas aulas, C não é uma superfície.

2. (a) Como se define um vector tangente a uma superfície S num ponto p ∈ S?

Um vector v ∈ ℝ^{3} diz-se tangente a S em p caso exista uma curva γ em S, passando por p, à qual v seja tangente nesse ponto; ou seja, caso exista uma curva γ : I → S tal que γ(t_{0}) = p e γ′(t_{0}) = v para algum t_{0} em I.

(b) Seja

\begin{aligned}σ : & (0, 2) × (0, 2π) & → & ℝ^{3} \\ & (u, v) & ↦ & (u cos v, u sin v, u) \end{aligned}

um mapa de uma superfície cónica S contendo o ponto p = (0, 1, 1). O vector (−1, −1, −1) é tangente a S no ponto p? (Justifique a resposta.)

Como

\frac{∂σ}{∂u}(u, v) = (cos v, sin v, 1)

e

\frac{∂σ}{∂v} (u, v) = (−u sin v, u cos v, 0),

então, em p = σ(1, \frac{π}{2} ), temos \frac{∂σ}{∂u}(1, \frac{π}{2} ) = (0, 1, 1) e \frac{∂σ}{∂v} (1, \frac{π}{2} ) = (−1, 0, 0). Portanto (−1, −1, −1) será tangente a S em p se e só se for combinação linear dos vectores (0, 1, 1) e (−1, 0, 0), ou seja, for do tipo (−β, α, α) para algum par de reais α e β, o que é o caso (α = −1 e β = 1).