Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Geometria Diferencial

Duração: 30m  Teste 3B  27/04/06

Soluções

1. Diga, justificando sucintamente, qual é o valor lógico das seguintes afirmações:

(a) Para qualquer função suave f : U ⊆ ℝ^{2} → ℝ, G_{f} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | y = f(x, z)} é uma superfície.

Verdadeiro: a função σ : U → G_{f}, definida por σ(x, z) = (x, f(x, z), z), é um mapa global de G_{f}, uma vez que se trata de um homeomorfismo suave definido num aberto de ℝ^{2}, cuja matriz jacobiana

J_{σ}(x, z) = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ \frac{∂f}{∂x}(x, z) & \frac{∂f}{∂y} (x, z) \\ 0 & 1 \end{matrix} ]

tem característica 2.

(b) Cada ponto p da superfície obtida por rotação, de ângulo v ∈ (0, 2π), em torno do eixo OZ, da curva γ(u) = (f(u), 0, g(u)), u ∈ I, tem vector de posição σ(u, v) = (f(u) cos v, g(u), f(u) sin v).

Falso, pois o ponto p tem vector de posição σ(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)), uma vez que a rotação em torno de OZ mantém a altitude g(u) do ponto γ(u) em rotação.

2. Para cada c ∈ ℝ_{0}^{+} considere S_{c} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2}y^{2} + x^{2}z^{2} + y^{2}z^{2} = c}.

(a) Mostre que S_{c} é uma superfície para c ≠ 0.

S_{c} = f^{−1}(c), para f : ℝ^{3} → ℝ definida por f(x, y, z) = x^{2}y^{2} + x^{2}z^{2} + y^{2}z^{2}. Como ∇_{f}(x, y, z) = (2xy^{2} + 2xz^{2}, 2yx^{2} + 2yz^{2}, 2zx^{2} + 2zy^{2}), este vector anula-se nos pontos (x, y, z) tais que x = y = 0 ou x = z = 0 ou y = z = 0 (isto é, em OX ∪ OY ∪ OZ). Mas, para c ≠ 0, nenhum destes pontos pertence a S_{c}, o que mostra que c é um valor regular de f e S_{c} é então uma superfície.

(b) O vector (−1, 2, 1) é tangente a S_{1} no ponto (1, 1, 0) ? (Justifique a resposta.)

O vector (−1, 2, 1) será tangente a S_{1} em (1, 1, 0) se e só se for ortogonal a ∇_{f}(1, 1, 0) = (2, 2, 0), ou seja, se e só se ((−1, 2, 1) | (2, 2, 0)) = 0, o que não é verdade.