PREFÁCIO









Na déecada de 30, em dois famosos e longos artigos ([The theory of representation for Boolean algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 40 (1936) 37-111] e [Applications of the theory of Boolean rings to general topology, Trans. Amer. Math. Soc. 41 (1937) 375-481]), Stone apresentou duas ideias revolucion´arias; primeiro, chegou à conclusãao que os ideais sãao muito importantes na Teoria dos Reticulados, ao descobrir que existe uma analogia entre áalgebras de Boole e anéis: o conceito de áalgebra de Boole é equivalente ao de um determinado tipo de anel --- hoje designado anel de Boole; depois, seguindo à letra a sua máaxima "one must always topologize" [The representation of Boolean algebras, Bull. Amer. Math. Soc. 44 (1938) 807-816], ligou a Topologia à Álgebra (mais precisamente à Teoria dos Reticulados) ao estabelecer o seu Teorema de Representação para Álgebras de Boole:

A categoria das álgebras de Boole é dualmente equivalente à categoria dos espaços T0 compactos zero-dimensionais (ou, por outras palavras, espa\c cos de Hausdorff compactos totalmente desconexos).

Este teorema tem tido uma grande influência em muitas áreas da Matemática moderna (o leitor poderá ver uma descrição detalhada desta influência na monografia [Stone spaces, Cambridge University Press, 1982] de Johnstone), nomeadamente no estudo de conceitos topológicos de um ponto de vista da Teoria dos Reticulados, iniciado por Wallman em 1938 e continuado com McKinsey e Tarski (1944), Nöbeling (1954), Lesieur (1954), Ehresmann (1957), Dowker e Papert (1966), Banaschewski (1969), Isbell (1972), Simmons (1978), Johnstone (1981), Pultr (1984), entre outros.

Ehresmann e Bénabou em 1957 foram os primeiros a olhar os reticulados completos com uma propriedade distributiva adequada (os ínfimos finitos são distributivos relativamente a supremos arbitrários) como merecedores de estudo como espaços topológicos "generalizados". Estes reticulados foram designados por reticulados locais no seminário de Ehresmann em Paris. Apesar da designação inglesa "local lattices" para estes reticulados ter entretanto caído em desuso e ter sido substituída pela de "frame" --- introduzida por Dowker e Papert nos anos sessenta para registar o papel de "moldura" da Topologia que esta categoria de reticulados pode realizar --- na falta de uma expressão satisfatória em português, é a tradução daquela que utilizarei neste trabalho. Não é uma solução agradável, mas pelo menos é cómoda e permite-me sublinhar que a abordagem que realizo, apesar de ter motivações topológicas, é fundamentalmente algébrica.

A Teoria dos Reticulados Locais não é mais nem menos do que Teoria dos Reticulados aplicada à Topologia; esta abordagem à Topologia toma os reticulados de conjuntos abertos como a noção primitiva --- trata-se de uma topologia "livre de pontos" (no inglês, "pointfree topology" ou "pointless topology"). Nela se investigam propriedades típicas de reticulados de conjuntos abertos que podem ser expressas sem a utilização de pontos.

Habitualmente pensa-se nos reticulados locais como espaços topológicos generalizados:

"The generalized spaces will be called locales. "Generalized" is imprecise, since arbitrary spaces are not determined by their lattices of open sets; but the "insertion" from spaces to locales is full and faithful on Hausdorff spaces"
[Isbell, Atomless parts of spaces, Math. Scand. 31 (1972) 5-32].

Todavia, os morfismos de reticulados locais --- que devem preservar ínfimos finitos e supremos arbitrários --- só poderão ser interpretados como "funções contínuas generalizadas" quando considerados na categoria dual. Foi Isbell no famoso artigo de 1972 "Atomless parts of spaces" que primeiro salientou isto e primeiro apontou para a necessidade de uma terminologia separada para a categoria dual da dos reticulados locais, cujos objectos, como atrás citado, designou por "locales".

Johnstone em [Stone spaces, Cambridge University Press, 1982], [The point of pointless topology, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 8 (1983) 41-53] e [The Art of pointless thinking: a student's guide to the category of locales, in Category Theory at Work (Proc. Workshop Bremen 1990), Heldermann, 1991, pp. 85-107] dá-nos uma descrição detalhada de todos estes desenvolvimentos históricos e das vantagens deste novo modo de fazer topologia em contraponto ao clássico. Como Isbell refere na "Zentralblatt für Mathematik", numa recensão crítica do artigo [Johnstone, The Art of pointless thinking: a student's guide to the category of locales, in Category Theory at Work (Proc. Workshop Bremen 1990), Heldermann, 1991, pp. 85-107],

"this paper is an argument that topology is better modeled in the category of locales than in topological spaces or another of their variants, with indication of how the millieu should be regarded and supporting illustrations".

A Teoria dos Reticulados Locais tem sobre a Topologia clássica a vantagem de muitos dos teoremas desta que necessitam do Axioma da Escolha (ou de alguma das suas variantes) poderem naquela ser provados de uma maneira construtiva; por exemplo, o Teorema de Tychonoff [Johnstone, Tychonoff's Theorem without the Axiom of Choice, Fund. Math. 113 (1981) 21-35], a construção da compactificação de Stone-Cech [Banaschewski and Mulvey, Stone-Cech compactification of locales, I, Houston J. Math. 6 (1980) 301-312] ou a construção da compactificação de Samuel [Banaschewski and Pultr, Samuel compactification and completion of uniform frames, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 108 (1990) 63-78]. Por este motivo os reticulados locais são os espaços ideais para a Teoria dos Topos [MacLane and Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, Springer, 1992].

Geralmente, quando a situação em reticulados locais difere da clássica, a primeira é mais conveniente; por exemplo, coprodutos de reticulados locais paracompactos são paracompactos [Isbell, Atomless parts of spaces, Math. Scand. 31 (1972) 5-32] enquanto que produtos de espaços topológicos paracompactos não são necessariamente paracompactos; outro exemplo: coprodutos de reticulados locais regulares preservam a propriedade de Lindelöf [Dowker and Strauss, Sums in the category of frames, Houston J. Math. 3 (1977) 7-15], produtos de espaços regulares não.

Pode-se também olhar os reticulados locais como o tipo de álgebras subjacentes à "lógica das asserções afirmativas" (lógica geométrica): uma disjunção infinita pode ser verificada, uma conjunção infinita não. Esta é a abordagem de Vickers em "Topology via Logic" [Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science 5, Cambridge University Press, 1989]:

"The traditional --- spatial --- motivation for general topology and its axioms relies on abstracting first from Euclidean space to metric spaces, and then abstracting out, for no obvious reason, certain properties of their open sets. I believe that the localic view helps to clarify these axioms, by interpreting them not as set theory (finite intersections and arbitrary unions), but as logic (finite conjunctions and arbitrary disjunctions: hence the title)".

Vickers acrescenta, algumas linhas depois:

"I have tried to argue directly from these logical intuitions to the topological axioms, and to frames as the algebraic embodiment of them".

O estudo de reticulados locais estruturados começou com Isbell [Atomless parts of spaces, Math. Scand. 31 (1972) 5-32], que considerou a noção de uniformidade num reticulado local na forma de um sistema de coberturas, mais tarde desenvolvida por Pultr em [Pointless uniformities I. Complete regularity, Comment. Math. Univ. Carolin. 25 (1984) 91-104] e [Pointless uniformities II. (Dia)metrization, Comment. Math. Univ. Carolin. 25 (1984) 105-120], que também definiu diâmetros métricos (a noção análoga à de pseudométrica no contexto espacial). Subsequentemente, Frith [Structured Frames, Doctoral Dissertation, University of Cape Town, 1987] estudou estruturas de tipo uniforme no contexto da Teoria das Categorias, introduzindo na Teoria dos Reticulados Locais outras estruturas topológicas que fazem parte das ferramentas de um topólogo, como, por exemplo, os espaços quase-uniformes e os espaços de proximidade. Todos estes conceitos são formulados em termos de coberturas, tendo Frith afirmado mesmo que:

"families of covers constitute the only tool that works for frames"
[Structured Frames, Doctoral Dissertation, University of Cape Town, 1987].

Recentemente, Fletcher e Hunsaker apresentaram em [Entourage uniformities for frames, Monatsh. Math. 112 (1991) 271-279] uma noção equivalente de uniformidade num reticulado local em termos de determinadas famílias de aplicações do reticulado nele próprio.

Na origem do trabalho que agora apresento esteve a seguinte sugestão do Professor Bernhard Banaschewski:

"We usually consider uniformities given by covers, as done by Tukey for spaces, but there should also be a theory (deliberately put aside by Isbell in "Atomless parts of spaces") of uniformities by entourages, in the style of Bourbaki".

Portanto, o tema principal desta dissertação é o estudo de reticulados locais estruturados, estruturas essas definidas em termos de vizinhanças da diagonal no estilo de Weil. Começa-se naturalmente pelas estruturas uniformes (Capítulo I) e ulteriormente investigam-se as estruturas mais gerais de quase-uniformidades e adjacências que daí emergem de um modo natural (Capítulos III e IV). Paralelamente, com o intuito de completar nos reticulados locais um quadro análogo ao existente para espaços, caracterizam-se essas estruturas em termos de "estruturas de medida", isto é, famílias de diâmetros métricos satisfazendo determinados axiomas.

A linguagem desta dissertação é quase inteiramente algébrica. Nela nunca utilizo a abordagem geométrica tornada possível pela linguagem dos locales. Tenho aqui a mesma opinião que Madden em [k-frames, J. Pure Appl. Algebra 70 (1991) 107-127]:

"There are differing opinions about this, and I appreciate that there are some very good reasons for wanting to keep the geometry in view. On the other hand, the algebraic language seems to me, after much experimentation, to afford the simplest and most streamlined presentation of results. Also, I think readers will not have much difficulty finding the geometric interpretations themselves, if they want them. After all, this ultimately comes down to just "reversing all the arrows" ".

Ao longo desta dissertação privilegia-se o ponto de vista categorial. A linguagem da Teoria das Categorias tem provado ser uma ferramenta adequada na abordagem ao tipo de problemas conceptuais nos quais estou interessado, nomeadamente na selecção das melhores axiomatizações para algumas estruturas nos reticulados locais e no estudo das relações entre elas. Além disso, esta visão permite compreender e perspectivar o significado real dessas abordagens. Como Herrlich e Porst afirmam no prefácio de "Category Theory at Work":

"Some mathematical concepts appear to be "unavoidable", e.g. that of natural numbers. For other concepts such a claim seems debatable, e.g., for the concepts of real numbers or of groups. Other concepts --- within certain limits --- seem to be quite arbitrary, their use being based more on historical accidents than on structural necessities. A good example is the concept of topological spaces: compare such "competing" concepts as metric spaces, convergence spaces, pseudotopological spaces, uniform spaces, nearness spaces, frames respectively locales, etc. What are the structural "necessities" or at least "desirabilities"? Category theory provides a language to formulate such questions with the kind of precision needed to analyse advantages and disadvantages of various alternatives. In particular, category theory enables us to decide whether certain mathematical "disharmonies" are due to inherent structural features or rather to chance ocurrences, and in the latter case helps to "set things right" ".

Este é o ponto de vista adoptado neste trabalho e nas publicações [Picado, Weil uniformities for frames, Comment. Math. Univ. Carolin. 36 (1995) 357-370], [Picado, Frame quasi-uniformities by entourages, to appear in Festschrift for G.C.L. Brümmer on his 60th birthday, University of Cape Town] e [Picado, Weil nearnesses for frames and spaces, Preprint 95-21, University of Coimbra, 1995] nas quais se baseia.

Outro fio condutor desta dissertação é a procura, em cada contexto, de uma versão estruturada dos functores "aberto" e "espectral" que continue a ser uma adjunção. Estes functores serviram como aferidores das axiomatizações escolhidas.



Passo a descrever o plano desta dissertação, bem como das contribuições que considero originais.

Pretendendo que o presente trabalho seja, na medida do possível, autocontido, a exposição inicia-se com um primeiro capítulo onde se reúnem a maioria das definições e resultados básicos da literatura que servem os capítulos posteriores, bem como as respectivas referências bibliográficas.

No Capítulo I, que considero o núcleo deste trabalho, formula-se uma teoria de uniformidades para reticulados locais no estilo de Weil (Secção 4) e prova-se com o Teorema 5.14 que se trata, de facto, de uma formulação equivalente à de Isbell [Atomless parts of spaces, Math. Scand. 31 (1972) 5-32] e \`a de Fletcher e Hunsaker [Entourage uniformities for frames, Monatsh. Math. 112 (1991) 271-279]. Termina-se o capítulo com uma aplicação desta teoria ao estudo, no contexto dos reticulados locais, de um teorema importante da teoria dos espaços uniformes, devido a Efremovic. Esta abordagem em termos de vizinhanças da diagonal revela-se aqui a linguagem adequada para produzir nos reticulados locais o teorema análogo ao de Efremovic.

Terminado o Capítulo I, seria natural investigar as estruturas não simétricas assim como as estruturas de adjacência (isto é, sem a condição de refinamento) emergentes da teoria de uniformidades ali apresentada. Todavia uma outra forma de encarar uniformidades num conjunto, devida a Bourbaki [Topologie Générale, Livre III, Chapitre 9, Hermann, 1948], e a noção de diâmetro métrico introduzida nos reticulados locais por Pultr [Pointless uniformities II. (Dia)metrization, Comment. Math. Univ. Carolin. 25 (1984) 105-120] levaram-me a explorar nestes um processo de descrever as uniformidades usando aqueles diâmetros. É o que faço na parte inicial do Capítulo 2. Como aplicação desta caracterização, inspirado pelo artigo [The category of uniform spaces as a completion of the category of metric spaces, Comment. Math. Univ. Carolin. 33 (1992) 689-693] de Adámek e Reiterman, provo no Corolário 4.20 que a categoria dos reticulados locais uniformes admite uma imersão plena num completamento (final e universal) da categoria dos reticulados locais métricos. Obtem-se desta forma uma motivação categorial para os reticulados locais uniformes do ponto de vista dos reticulados locais métricos.

Nos Capítulos III e IV retoma-se então o percurso inicial. O Capítulo III contém na Secção 3 a formulação da teoria de quase-uniformidades em termos das vizinhanças da diagonal no sentido de Weil. O Teorema 4.15 vem demonstrar que se trata de uma teoria equivalente às anteriormente conhecidas. No Capítulo IV passa-se para um outro patamar de generalização estudando nos reticulados locais --- usando as vizinhanças da diagonal --- as estruturas de adjacência. Neste caso as correspondentes estruturas espaciais, não tendo sido abordadas na literatura, surgem como tópico merecedor de estudo. Obtem-se uma classe de espaços que, embora distintos dos espaços clássicos de adjacência de Herrlich [A concept of nearness, General Topology and Appl. 4 (1974) 191-212], formam uma categoria topológica interessante (Proposição 5.1) que unifica vários conceitos de topologia e uniformidade (Proposições 5.4, 5.5, 5.6, 5.8 e Corolário 5.15). O conceito de Weil de vizinhança da diagonal é, portanto, um conceito topológico b´sico através do qual diversas ideias topológicas podem ser expressas. Na última secção estudam-se os reticulados locais de proximidade usando as vizinhanças da diagonal, obtendo-se no Teorema 6.10 uma nova caracterização destes. Investigam-se ainda as relações infinitesimais de Efremovic [Infinitesimal spaces, Dokl. Akad. Nauk 76 (1951) 341-343] no contexto dos reticulados locais e termina-se com uma observação que mostra, mais uma vez, que a linguagem aqui introduzida se mostra adequada para traduzir em reticulados locais os resultados espaciais formulados em termos das vizinhanças da diagonal de Weil.

Impõe-se uma palavra de explicação quanto às designações escolhidas para os diversos conceitos de proximidade utilizados no Capítulo IV: espaços de proximidade designam os "proximal spaces" de Efremovic [The geometry of proximity I, Mat. Sb. N.S. 31 (1952) 189-200], espaços de contiguidade designam os "contigual spaces" de Ivanova e Ivanov [Contiguity spaces and bicompact extensions, Izv. Akad. Nauk. SSSR 23 (1959) 613-634] e, numa tradução mais livre e à falta de melhor sinónimo, uso espaços de adjacência para nomear os "nearness spaces" de Herrlich [A concept of nearness, General Topology and Appl. 4 (1974) 191-212] (a alternativa espaços de vizinhança, usada por exemplo no italiano e no alemão para nomear estes últimos espaços, não me parece conveniente por poder gerar confusão com o conceito básico de "vizinhança da diagonal" usado frequentemente ao longo do texto). As mesmas designações são utilizadas para os correspondentes conceitos em reticulados locais.

Cada capítulo termina com uma secção contendo alguns comentários avulsos e referências adicionais.

Chamo a atenção do leitor para um apêndice (na página 145) contendo dois diagramas que resumem as relações entre as diversas categorias de espaços e de reticulados locais apresentadas ao longo do texto, bem como para as listas de categorias (página 155), símbolos (página 159) e definições (página 163) utilizadas. Por uma questão de coerência com a literatura existente --- e também por comodidade --- utilizo, para denotar as diversas categorias consideradas, abreviaturas das designações em inglês dos respectivos objectos.

A elevada extensão da Bibliografia é consequência da minha preocupação em relacionar os conceitos aqui introduzidos com diversos conceitos afins já existentes na literatura e em motivar a exposição nos reticulados locais com o quadro espacial.

Salvo raras excepções não apresento as demonstrações dos resultados anteriormente conhecidos, limitando-me a referenciá-los. Considero originais os conceitos e resultados incluídos nos Capítulos I, II, III e IV, com excepção daqueles especificamente referidos. De um modo geral os princípios de escolha como o Axioma da Escolha ou o Axioma da Escolha para Conjuntos Numeráveis serão utilizados ao longo da dissertação sem qualquer referência.

O sistema de numeração utilizado não me parece que ofereça dúvidas. Quando um resultado, definição, observação ou exemplo é invocado fora do capítulo onde está integrado, precede-se a sua referência do número do capítulo respectivo.



A presente dissertação foi elaborada sob a orientação dos Professores Bernhard Banaschewski e Manuela Sobral a quem desejo expressar o meu reconhecimento. Ao Professor Bernhard Banaschewski agradeço a oportunidade que me deu de estudar sob a sua orientação, a sugestão do tema que deu origem a esta tese e os valiosos comentários que --- apesar da distância --- nunca deixou de fazer. À Professora Manuela Sobral, com quem primeiro aprendi Teoria das Categorias e Teoria dos Reticulados Locais, agradeço, em particular, o apoio encorajador que sempre deu ao meu trabalho. Pelo seu tempo e exemplo, exprimo a minha gratidão.

Um agradecimento muito especial à Maria Manuel Clementino com quem discuti quase diariamente muitas das ideias desenvolvidas neste trabalho, bem como pela atenção que sempre lhe dispensou.

Ao Professor Ales Pultr agradeço a oportunidade que me concedeu de participar nos seus seminários e o muito que com ele aprendi durante as minhas estadas em Praga.

Lembro ainda os frutos que colhi, no meu trabalho individual, do ambiente estimulante dos seminários regulares do "grupo de Teoria das Categorias".

Noutro plano, devo também agradecer o apoio financeiro do projecto TEMPUS JEP 2692 e do Centro de Matemática da Universidade de Coimbra.

Ao Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra agradeço as condições de trabalho de que beneficiei durante a preparação desta dissertação.