Probabilidades
2023/24
Licenciatura em Matemática
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Informações Gerais
Programa
Bibliografia
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Informações
Gerais
Apresentação
Nesta disciplina introdutória às Probabilidades, onde os alunos terão o seu primeiro contacto com modelos matemáticos não deterministas, pretende-se que os estudantes adquiram uma formação de base sólida que lhes permita o desenvolvimento de estudos posteriores em domínios como os da Estatística ou dos Processos Estocásticos.
Docente
Carlos Tenreiro
Gabinete 5.8, DMUC
URL: https://www.mat.uc.pt/~tenreiro/
E-mail: tenreiro{at}mat{dot}uc{dot}pt
Horário
Conhecimentos de base recomendados
Esta disciplina utiliza conhecimentos de Análise Infinitesimal I, II, III e IV.
Sumários, folhas de exercícios e tabelas
Disponíveis na página da disciplina na plataforma UC Student.
Calendário escolar
Programa
1. Probabilidades: das origens ao Teorema do Limite Central
Origens do Cálculo de Probabilidades.
A Lei dos Grandes Números de Bernoulli.
O Teorema do Limite Central de de Moivre.
O Teorema do Limite Central de Laplace.
O Teorema do Limite Central moderno.
2. Espaços de probabilidade
Acontecimentos e σ-álgebra de acontecimentos.
Axiomas da probabilidade.
Propriedades duma probabilidade.
Probabilidade condicionada.
Independência de acontecimentos aleatórios.
3. Variáveis aleatórias
Variáveis aleatórias e suas leis de probabilidade.
Variáveis discretas e variáveis contínuas.
Função de distribuição.
Exemplos de leis de probabilidade discretas e contínuas.
Simulação de experiências e variáveis aleatórias.
4. Esperança matemática, variância e momentos
Esperança matemática.
Propriedades da esperança matemática e cálculo respetivo.
Momentos e variância.
Propriedades da variância e cálculo respetivo.
Coeficientes de assimetria e de forma.
Desigualdade de Markov e suas consequências.
Localização e dispersão sem momentos.
5. Vetores aleatórios
Vetores aleatórios e suas leis de probabilidade.
Função de distribuição dum vector aleatório.
Independência de variáveis aleatórias.
Covariância e correlação.
Distribuições condicionais.
Média e matriz de covariâncias dum vetor aleatório.
Vetores aleatórios normais (uma breve introdução).
6. Função caraterística
Esperança matemática de variáveis complexas.
Definição de função caraterística e primeiras propriedades.
Cálculo da função caraterística: alguns exemplos.
Função caraterística e o cálculo dos momentos.
Distribuição da soma de variáveis aleatórias independentes.
7. Leis dos Grandes Números
Convergências quase certa, em probabilidade e em média quadrática.
Teorema da convergência dominada de Lebesgue.
Primeiras leis dos grandes números.
Leis dos grandes números de Khintchine e de Kolmogorov.
Aplicações à Estatística.
8. Teorema do Limite Central
Convergência em distribuição.
O Teorema do Limite Central de Laplace-Liapounov.
Algumas consequências e aplicações.
Bibliografia
Chung, K.L., A Course in Probability Theory, 2.ª ed., New York: Academic Press, 1974 (3.ª ed. 2001).
Durrett, R., Probability: theory and examples, 2.ª ed., Belmont: Duxbury Press, 1995 (5.ª ed. 2019).
Foata, D., Fuchs, A., Calcul des probabilités, 2.ª ed., Paris: Dunod, 2003.
Gonçalves, E. Mendes-Lopes, N., Probabilidades: princípios teóricos, 2.ª ed., Lisboa: Escolar Editora, 2013.
James, B.R., Probabilidade: um curso em nível intermediário, Rio de Janeiro: IMPA, 1981.
Resnick, S.I., A probability path, Boston: Birkhäuser, 2005 (última reimpressão 2014).
Tenreiro, C., Notas do curso de Probabilidades, Coimbra, 2023.
R
The R Project for Statistical Computing
An Introduction to R
An R Introduction to Statistics | R Tutorial
Quick-R
Instalação do R
Para descarregar e instalar o programa estatístico R (gratuito) seguir os passos seguintes:
- Ver a página http://www.r-project.org/
- Na coluna da esquerda clicar em "CRAN".
- Escolher um servidor.
- Escolher o sistema operativo: Windows, Linux, Mac. Tendo escolhido Windows, seleccionar "base".
- Clicar em "Download R 4.1.2 for Windows" e instalar o programa escolhendo as opções por defeito.
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