Docente
Carlos Tenreiro
Gabinete 5.8, DMUC
URL: https://www.mat.uc.pt/~tenreiro/
E-mail: tenreiro{at}mat{dot}uc{dot}pt

Horário
Terça-feira 11h-13h; Quinta-feira, 9h-11h

Conhecimentos de base recomendados
Esta disciplina utiliza conhecimentos de Probabilidades.

Sumários, folhas de exercícios e formulário
Disponíveis na página da disciplina na plataforma UC Student.

Calendário escolar

1. Introdução aos processos estocásticos
Noção de processo estocástico e exemplos. O passeio aleatório simples. O processo de Poisson homogéneo. Distribuição de probabilidade dum processo estocático. Teorema de Kolmogorov-Bochner. Vetores gaussianos e processos gaussianos. O processo de Wiener. Processos estacionários. Processos de acréscimos independentes. Processos de acrésci\-mos estacionários. Complementos sobre os processos de Poisson homogéneo e de Wiener. Martingalas.

2. Cadeias de Markov a tempo discreto
Definição, exemplos e primeiras propriedades. Probabilidades de transição de ordem superior. Equações de Chapman-Kolmogorov. Leis de dimensão finita. Visitas a um estado nas n primeiras transições. Distribuições marginais. Estacionaridade forte. Distribuição estacionária ou invariante. Tempo de primeira entrada num estado. Estados recorrentes e estados transitórios. Visitas a um estado. Decomposição do espaço dos estados. Tempos e probabilidades de absorção. Comportamento assintótico: distribuições estacionária e assintótica. Leis dos grandes números. Estados recorrentes positivos e nulos. Cadeias com espaço dos estados finito.

3. Cadeias de Markov a tempo contínuo
Definição e primeiras propriedades. Equações de Chapman-Kolmogorov. Leis de dimensão finita. Distribuições marginais. Estacionaridade forte. Distribuição estacionária ou invariante. Equações diferenciais de Kolmogorov. Gerador infinitesimal da cadeia de Markov. Cadeias com um número finito de estados. Complementos sobre o processo de Poisson. Cadeia de Markov embebida e gerador infinitesimal. Simulação duma cadeia de Markov. Processos de nascimento e morte. Comportamento assintótico. Teoremas limite.

4. Elementos de cálculo estocástico
Introdução. O integral de Riemann-Stieltjes. O integral estocástico de Itô. Variação quadrática do processo de Wiener. O processo integral de Itô. A fórmula de Itô. Aplicações da fórmula de Itô: cálculo de integrais estocástico e resolução da equação de Black-Scholes.

Durrett, R., Essentials of stochastic processes, New York: Springer-Verlag, 2016.

Grimmett, G.R., Stirzaker, D.R., Probability and random processes, Oxford: Oxford University Press, 2001.

Jacod, J., Protter, P., Probability essentials, Berlin: Springer, 2000.

Kuo, H-H., Introduction to stochastic integration, New York: Springer, 2006.

Mikosch, T., Elementary stochastic calculus, New Jersey: World Scientific Publishing, 2006.

Parzen, E., Stochastic processes, San Francisco: Holden-Day, 1962 (Philadelphia: SIAM, 1999).

Resnick, S.I., Adventures in stochastic processes, Boston: Birkhauser, 2002.

Sericola, B., Markov chains: theory, algorithms and applications, London: ISTE; Hoboken: Wiley, 2013.

Tenreiro, C., Notas do curso de Processos e Cálculo Estocástico, Coimbra, 2022.

Instalação do R
Para descarregar e instalar o programa estatístico R (gratuito) seguir os passos seguintes:
- Ver a página http://www.r-project.org/
- Na coluna da esquerda clicar em "CRAN".
- Escolher um servidor.
- Escolher o sistema operativo: Windows, Linux, Mac. Tendo escolhido Windows, seleccionar "base".
- Clicar em "Download R 4.1.2 for Windows" e instalar o programa escolhendo as opções por defeito.
- A partir da janela R, e após selecionar um servidor, pode instalar a package "sampling".