1 - Espaços de probabilidade Modelo matemático para uma experiência aleatória. Propriedades duma probabilidade. Construção de probabilidades. Probabilidade condicionada. Teorema de Bayes. Produto generalizado de probabilidades. Produto infinito de espaços de probabilidade. Breve referência à simulação de experiências aleatórias. 2 - Variáveis aleatórias e leis de probabilidade Variáveis aleatórias e suas leis de probabilidade. Classificação das leis de probabilidade sobre $\R^d$. Função de distribuição duma variável aleatória real. Função de distribuição dum vector aleatório. Transformação de vectores aleatórios absolutamente contínuos. Leis condicionais. 3 - Integração e convergências funcionais de variáveis aleatórias Esperança matemática. Momentos duma variável aleatória real. Esperança condicional. Covariância e correlação. Integração de vectores aleatórios. Desigualdade de Markov e suas consequências. Convergências funcionais de variáveis aleatórias. 4 - Independência Independência de acontecimentos aleatórios, de classes e de variáveis aleatórias. Independência e leis condicionais. Soma de variáveis aleatórias independentes. Leis zero-um de Borel e de Kolmogorov. 5 - Leis dos grandes números Primeiras leis dos grandes números para variáveis de quadrado integrável. Lei fraca dos grandes números de Khintchin. Lei forte dos grandes números de Kolmogorov. O Teorema das três séries. 6 - Função característica Integração de variáveis aleatórias complexas. Função característica dum vector aleatório. Derivadas e momentos. Injectividade. Fórmula de inversão. Função característica e independência de variáveias aleatórias reais. 7 - Vectores aleatórios normais Vectores normais e função característica. Independência das margens e matriz de covariância. Continuidade absoluta e matriz de covariância. 8 - Convergência em distribuição Convergência em distribuição de vectores aleatórios. Relações com os outros modos de convergência. O Teorema da selecção de Helly. O Teorema de Prohorov. O Teorema de continuidade de Paul Lévy. O Teorema de Cramér-Wold. 9 - Teorema do limite central O Teorema do limite central clássico. O Teorema do limite central de Lindeberg. A condição de Liapounov. O Teorema do limite central multidimensional.

Horário de atendimento aos alunos:Quarta-feira, das 15h às 18h, no Gabinete 6.5

• Jacod, J. e Protter, P. (2000). Probability Essentials, Springer-Verlag.

• James, B.R. (1981). Probabilidade: um curso em nível intermediário, IMPA.

• Loève, M. (1977). Probability Theory I, Springer-Verlag.

• Monfort, A. (1980). Cours de Probabilités, Economica.

• Resnick, S.I. (1999). A Probability Path, Birkhäuser.

• Shiryaev, A.N. (1996). Probability, Springer-Verlag.

• Williams, D. (1991). Probability with Martingales, Cambridge University Press.

• Doob, J.L. (1994). The development of rigor in mathematical probability, In: Development of Mathematics 1900-1950, J-P. Pier, eds, p. 157-170, Birkhäuser.

• Loève, L. (1978). Calcul des probabilités, In: Abrégé d'Histoire des Mathématiques 1700-1900, Vol. 2, p. 277-313, Hermann.

• Halmos, P.R. (1944). The foundations of probability, Amer. Math. Monthly, Vol. 51, p. 493-510.

• Pasquier, L.-G. (1926). Le calcul des probabilités, p. 1-30, Hermann.

• Apontamentos de Teoria das Probabilidades (Carlos Tenreiro, Coimbra, 2002) ( Índice ).

• Apontamentos de Medida e Integração (Carlos Tenreiro, Coimbra, 2000) ( Índice ).

• Exame escrito

• Trabalho escrito sujeito a defesa oral para alunos cuja classificação do exame seja estritamente superior a dezasseis valores