Corpos e equações algébricas

2010/11

2º Ano, 2º Semestre
Licenciatura em Matemática

Evariste Galois

Avisos:
(29/06) Resolução do Exame.
(29/06) Enunciado do Exame.
(10/06) A pauta do exame foi inserida no Nónio. As provas poderão ser consultadas na segunda-feira, dia 13, a partir das 14h, no meu gabinete.
Os alunos com nota de 16* (frequência ou exame) deverão comparecer para combinarmos a data da prova complementar.
(09/06) Resolução do Exame.
(09/06) Enunciado do Exame.
(06/06) Horário de dúvidas esta semana: Quarta-feira (15:00-16:30), Quinta-feira (10:30-12:00).
(03/06) A pauta da frequência foi inserida no Nónio.
(01/06) Resolução da frequência.
(01/06) Enunciado da frequência.
(02/05) A pauta do teste foi inserida no Nónio.
(30/04) Soluções do teste 2 aqui.
(29/04) Enunciado do Teste 2.
(04/04) A pauta do teste foi inserida no Nónio.
(22/03) Estarei ausente no estrangeiro de 26 de Março a 1 de Abril. A aula do dia 29 de Março (terça-feira) será mudada para 6 de Abril (quarta-feira), 15:00-16:45, Sala 2.2.
(11/03) Enunciado e resolução do Teste 1.
(01/03) Não há aulas esta tarde, por determinação superior.
(01/03) O horário de atendimento de 4 de Março passa para 9 de Março, mesma hora.
(25/02) A aula do dia 4 de Março será mudada para a quarta-feira seguinte (9 de Março, 14:30-17:30, Sala 5.6).
(18/02) Testes e exames de anos anteriores: aqui e aqui.
(06/02) As aulas começam na terça-feira dia 8.

Docente

	Jorge Picado
	Gabinete: 6.12
	Horário de Atendimento: Terça-feira: 10.00-11.30, Sexta-feira 17.30-19.00 *
	telef.: 239791150
	e-mail: picado@mat.uc.pt
	URL: http://www.mat.uc.pt/~picado/

	* Ou outro dia e hora a combinar (no final da aula ou por e-mail)

Programa

1. Anéis e corpos.
   Anéis, domínios de integridade e corpos. 
   Subanéis e ideais. Ideais principais.
   Anel quociente. Ideais primos e ideais maximais. 
   Homomorfismos de anéis. Característica. 
   
2. Anéis de polinómios.
   Polinómios. Anéis de polinómios. 
   Factorização: algoritmo da divisão, 
   polinómios irredutíveis, Teorema de Gauss 
   da factorização única.
   
3. Extensões de corpos. Elementos da teoria de Galois.          
   Extensões de corpos. Aplicações: construções 
   com régua e compasso, construção de polígonos regulares.
   Teoria de Galois. Aplicações: resolubilidade de 
   equações polinomiais por radicais.

4. Corpos finitos.
   Propriedades fundamentais. 
   Teorema da classificação (de Galois). 
   Aplicações: teoria algébrica dos códigos.

«Antes de mais, deve observar-se que, hoje em dia, é aceite por toda a comunidade matemática a formulação conceptual, axiomática, da Álgebra. Mais do que isso, a metodologia algébrica é uma das ferramentas essenciais da Matemática. Por outro lado, depois de na segunda metade do século XX se ter assistido a uma abstracção sem paralelo na Matemática, mais recentemente, verificou-se um retorno a uma tradição nunca perdida: os desafios criados por problemas concretos, por vezes de natureza elementar, mas cuja solução requer métodos de extrema complexidade. O ensino da Álgebra deve, quanto a nós, reflectir este binómio abstracto-concreto. Como perguntava o grande matemático contemporâneo Vladimir Arnol’d, de que serve a um estudante saber o que é um anel local e as suas propriedades, se desconhecer o exemplo do anel das séries de potências?»

Rui Loja Fernandes e Manuel Ricou, Introdução à Álgebra,
IST Press, 2004

Bibliografia

Principal:
J. Picado, Corpos e equações algébricas, Univ. Coimbra, 2009.
R. L. Fernandes e M. Ricou, Introdução à Álgebra, IST Press, 2004 (20-01/FER, 20-01/FER/ex.2, 20/02/SL, 20/03/SL).

Secundária:
A. Jones, S. Morris e K. Pearson, Abstract Algebra and Famous Impossibilities, Springer-Verlag, 1994 (12F/JON).
R. Lidl e H. Niederreiter, Introduction to Finite Fields and their Applications, Cambridge University Press, 2000 (12E/LID).
I. Stewart, Galois Theory, Chapman & Hall, 1973 (3a ed. 2004) (12F/STE).

Avaliação

Da avaliação constam:
1. 2 testes
2. 1 frequência
3. exame final
4. prova complementar

Todos os alunos poderão participar nos testes (que se realizarão durante as aulas) e na frequência. 
É obrigatória a presença em 75% das aulas para que a nota dos testes e da frequência contem.

Cotação de cada teste: 3 valores. Cotação da frequência: 14 valores.

Nota final (por frequência): nota frequência + notas testes (arredondada às unidades)*

Quem não fizer a disciplina por frequência pode fazê-la por exame*. (Não se garante a nota da avaliação contínua no Exame da Época Normal.)

* Defesa de nota, através de prova complementar, para os alunos que obtenham nota final superior a 16. 


Datas dos testes: Primeiro teste:  11 de Março (sexta-feira)
                  Segundo teste:   29 de Abril (sexta-feira)

Data da frequência: 1 de Junho (quarta-feira), 14:30.

Datas dos exames: Época normal:  9 de Junho (quinta-feira), 14:30 horas
                  Época de recurso:  29 de Junho (quarta-feira), 14:30 horas
                  Época especial:  19 de Julho (terça-feira), 9:00 horas.