CURVAS E SUPERFÍCIES

2011/12

2º Semestre, 2º Ano
Licenciatura em Matemática

Avisos:

(06/06) A frequência realiza-se na sexta-feira, dia 8, às 9:00, na Sala 4.6.
(02/05) A pauta com as notas do teste já está no Nónio.
(27/04) Soluções do teste 2.
(27/04) Enunciado do teste 2.
(23/03) Veja a curvatura, a torsão e o triedro de Frenet-Serret no Projecto Atractor.
(18/03) A pauta com as notas do teste já está no Nónio.
(16/03) Soluções do teste 1.
(16/03) Enunciado do teste 1.
(24/02) Para o exercício da ciclóide ver aqui e aqui
(23/02) Estarei ausente no estrangeiro de 3 de Março a 10 de Março. Haverá uma aula de substituição no dia 21 de Março (quarta-feira), 14:30, Sala 2.3.
(07/02) As aulas começam na quarta-feira, dia 15.

Docentes

	Jorge Picado
	Gabinete: 6.12
	Horário de Atendimento: Quarta-feira 10.30-12.30, Sexta-feira 11.30-12.30 *
	telef.: 239791150
	e-mail: picado@mat.uc.pt
	URL: http://www.mat.uc.pt/~picado/

	* Ou outro dia e hora a combinar (por e-mail ou no final da aula)

Programa

I- Curvas em R³.
   1- Preliminares.
   2- O que é uma curva?: 
      Curvas de nível e curvas parametrizadas. 
      Curvas regulares.
      Comprimento de arco e parametrização 
      por comprimento de arco.
   3- Curvatura e torsão. Triedro de Frenet-Serret. 
      Fórmulas de Frenet-Serret.
   4- Curvas planas.
   5- Teorema Fundamental das Curvas.
   6- Algumas classes especiais de curvas.
   
II- Superfícies em R³.
   1- Preliminares.
   2- O que é uma superfície?: 
      Definição e exemplos. Mudança de parâmetros. 
      Aplicações diferenciáveis entre superfícies.
   3- Tangentes e normais. Orientabilidade.
   4- Algumas classes especiais de superfícies: 
      Superfícies de revolução, superfícies quádricas, 
      cilindros e cones generalizados, superfícies regradas.	
   5- Primeira forma fundamental. 
      Isometrias, aplicações equiareais e conformais.
      Aplicações ao cálculo de áreas, comprimentos e ângulos.
   6- A aplicação de Gauss e a segunda forma fundamental.
   7- O Teorema Egregium de Gauss.

Resumo: Em Geometria Diferencial estudam-se objectos de natureza geométrica --- curvas e superfícies --- usando as técnicas do cálculo diferencial e integral. A geometria diferencial clássica engloba o estudo das propriedades das curvas e superfícies no espaço euclidiano. Tem as suas origens no século XIX, com os primórdios da Análise, e nela se estudam as propriedades locais, isto é, aquelas que dependem somente do comportamento da curva ou superfície na vizinhança de um ponto. Por isso é usual chamar-lhe teoria local de curvas e superfícies. A geometria diferencial moderna estuda a influência das propriedades locais no comportamento de toda a curva ou superfície (teoria global de curvas e superfícies) e estende o estudo aos espaços não euclidianos e variedades de qualquer dimensão, baseando-se ainda, no entanto, nos métodos do cálculo diferencial e integral.
Neste curso abordamos os temas clássicos da geometria diferencial: curvas e superfícies no espaço. Estudamos assim resultados obtidos na sua quase totalidade no século XIX. Curvas e superfícies são objectos que qualquer pessoa pode ver, e muitas das questões que podem ser levantadas sobre estes objectos são óbvias e naturais. A geometria diferencial preocupa-se com a formulação matemática de algumas dessas questões e em tentar encontrar respostas para elas, usando as técnicas do cálculo diferencial. Num primeiro capítulo dedicamo-nos ao estudo das curvas. Num segundo (e último) capítulo estudamos a teoria local das superfícies, cuja génese se deve a Gauss com o seu famoso trabalho Disquisitiones generales circa superficies curvas (Comm. Soc. Gottingen Bd 6, 1823-1827). Tentamos seguir sempre a abordagem mais directa e simples a cada resultado, mantendo sempre os pré-requisitos no mínimo possível. Esta parece-nos ser a abordagem certa para um primeiro estudo da geometria diferencial, motivando os conceitos e os problemas e fundamentando a intuição.

Bibliografia

J. Picado, Apontamentos de Geometria Diferencial, 2006.

A. Gray, Modern differential geometry of curves and surfaces with mathematica, CRC Press, 2006 (53-01/GRA).
O. Neto, Tópicos de Geometria, Universidade Aberta, 1999 (51N/NET).
A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer-Verlag, 2005 (53-01/PRE).

M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, 1976 (53C/CAR).
W. Kuhnel, Differential Geometry: Curves, Surfaces, Manifolds, AMS, 2002 (53-01/KUH).

Avaliação

Da avaliação constam:
1. 2 testes
2. 1 frequência
3. exame final
4. prova complementar

Todos os alunos poderão participar nos testes (que se realizarão durante as aulas) e na frequência. 
É obrigatória a presença em 75% das aulas para que a nota dos testes e da frequência contem.

Cotação de cada teste: 3 valores. Cotação da frequência: 14 valores.

Nota final (por frequência): nota frequência + notas testes (arredondada às unidades)*

Quem não fizer a disciplina por frequência pode fazê-la por exame*. (Não se garante a nota da avaliação contínua no Exame da Época Normal.)


* Defesa de nota, através de prova complementar, para os alunos que obtenham nota final superior a 16. 


Datas dos testes: Primeiro teste:  16 de Março (sexta-feira)
                  Segundo teste:   27 de Abril (sexta-feira)

Data da frequência: 8 de Junho (sexta-feira), na aula.

Datas dos exames: Época normal:  20 de Junho (quarta-feira), 14:30
                  Época de recurso:  10 de Julho (terça-feira), 9:00
                  Época especial:  25 de Julho (quarta-feira), 9:00