Análise

Informações
Destinatários: Alunos do Mestrado em Ensino da Matemática
Plano do Curso

Cálculo Diferencial

Cálculo Integral

Problemas Fundamentais da Análise

Evolução histórica dos principais conceitos do Cálculo Diferencial; Conceito de função; Limites, continuidade e diferenciabilidade.

Evolução histórica dos principais conceitos do Cálculo Integral; Séries e integrais; Fundamentação do cálculo integral.

Os princípios e teoremas fundamentais da Análise e a necessidade de uma construção rigorosa da recta real; Diversas construções dos números reais; Problemas do ensino da Análise.

Referências Bibliográficas
 * A.D. Aleksandrov, A.N. Kolmogorov, M.A. Lavrentiev, Mathematics: its content, methods and meaning, Translations of mathematical monographs, AMS, 1962-63.
 * H. Dörrie, 100 Great problems of Elementary Mathematics, Dover Publications, New York, 1965.
 * K. Knopp, Theory of Functions, Dover, 1945.
 * E.L. Lima, Curso de Análise, Vol. 1 e 2, Livros Técnicos e Científicos Editora, 1987.
 * M. Spivak, Cálculo Infinitesimal, Reverté, 1984.
Projectos de Trabalho  (5/20)

Data Limite
Aplicações do teorema de Stolz

5-11-2004
Análise do teorema de L'Hôpital do cálculo diferencial tendo em atenção o teorema de Stolz.
Definição da função exponencial

19-11-2004
Análise da convergência pontual e uniforme sobre intervalos de R da sucessão de funções de termo geral  f_n (x) = ( 1 + x/u_n )^{1/u_n} , onde (u_n) é uma sucessão crescente para +\infty.
Séries de potências

3-12-2004
Estudo das séries de potências a partir de um teorema de Weierstrass: Operações com séries de potências; representação em série de potências de funções racionais e trigonométricas.
Função de Weierstrass

17-12-2004
Analisar quanto à continuidade e diferenciabilidade a função de representação analítica f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} b^n \cos (a^n \pi x) onde a é um número natural ímpar maior do que 1 e 0 < b < 1.
Problema individual

7-01-2005
Análise de vários problemas fundamentais da Teoria de Funções.
Exames (15/20): 7-01-2005; 21-01-2005; 18-02-2005; 30-09-2005
Informação para os exames:
 • Justifique convenientemente as suas respostas, apresentando os cálculos efectuados e enunciando os resultados utilizados.
 • Não utilize máquina de calcular nem qualquer texto de consulta.
 • Em caso de fraude a sua prova será imediatamente anulada.
 • Classificação final = Max (Exame + PT, Exame Especial)
 • Os exames terão lugar no Departamento de Matemática da FCTUC das 9h30m às 12h30m.
 • No dia do exame os alunos devem estar às 9h25m no Gabinete 4.5 do Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra.
Horário de Dúvidas: sexta-feira 11h-12h.
Sumários:  
Lição nº1 

24-09-2004
Informação sobre a disciplina quanto aos temas de estudo, bibliografia, avaliação, horário de atendimento e contactos.
Lição nº2

1/10/2004
Sucessões: Teorema de Stolz.
Lição nº3

8/10/2004
Aplicações do Teorema de Stolz: Cálculo de limites; Teorema de Cauchy do cálculo diferencial. Definição de função exponencial como limite pontual de uma sucessão de funções.
Lição nº4 

15/10/2004
Convergência pontual e uniforme de sucessões de funções. Perspectiva histórica do problema.
Lição nº5

22/10/2004
Convergência uniforme de sucessões de funções. Aplicação à definição de funções.
Lição nº6

29/10/2004
Teoria construtiva de funções. Perspectiva histórica. Caracterização das funções racionais em termos da sua representação em série de potências. Aplicações.
Lição nº7 

5/11/2004
Funções trigonométricas, exponencial e hiperbólicas. Equações funcionais que estas funções verificam. Discussão sobre os trabalhos propostos.
Lição nº8

12/11/2004
Introdução ao cálculo integral. Análise de um problema de Arquimedes. Análise de um teorema de Liouville sobre primitivação de funções. 
Lição nº9

19/11/2004
Produtos infinitos. Aplicação à representação de funções.
Lição nº10

26/11/2004
Séries de Fourier. Aplicação à representação de funções.
Lição nº11

3/12/2004
Aplicação das séries de potências à integração de equações diferenciais.
Lição nº12

10/12/2004
Equações funcionais. Função exponencial. Identidade de Euler.
Lição nº13

17/12/2004
Fórmula resolvente para equações polinomiais de ordem 3 e 4. Teorema de impossibilidade de Abel. Discussão sobre os trabalhos propostos.
Lição nº14

7/01/2005
Considerações gerais sobre a disciplina de Análise.
Amílcar Branquinho

ajplb@mat.uc.pt