DE
EUCLIDES 
EUCLIDES
PROP. XXXIII. THEOR.
As rectas, que da mesma parte estão postas entre as extremidades de duas outras rectas eguaes e parallelas, são tambem eguaes e parallelas ( Fig. 55 ).
 Fig. 55 |
Sejam as duas rectas AB, CD eguaes e parallelas, e entre os extremos della A, C, B, D estejam postas as outras duas AC, BD. Digo que AC, BD são eguaes, e parallelas.
Tire-se a recta BC. Porque AB, CD são
parallelas, e são cortadas pela recta BC, serão os angulos
alternos ABC, BCD eguaes ( Pr. 29, 1 ). E sendo AB=CD, e
BC commum; as duas AB, BC serão eguaes ás duas DC, CB. Mas
temos o angulo ABC=BCD. Logo será a base AC=BD, que é a outra
base ( Pr. 4, 1 ); e o triangulo ABC egual ao triangulo
BCD; e os mais angulos eguaes aos mais angulos ( Pr. 4, 1
), cada um a cada um, segundo ficam oppostos a lados eguaes. Logo
deve ser o angulo ACB=CBD. Logo a recta BC fazendo com as duas
AC, BD os angulos alternos ACB, CBD eguaes; as duas rectas AC, BD
serão parallelas ( Pr. 27, 1 ). E já temos demonstrado,
que são tambem eguaes.
PROP. XXXIV. THEOR.
Os lados e os angulos oppostos dos espaços formados com linhas parallelas, ou parallelogrammos, são eguaes; e todo o espaço parallelogrammo, fica dividido pela diagonal em duas partes eguaes ( Fig. 55 ).
Seja o espaço parallelogrammo ABDC, cuja diagonal é BC. Digo, que os lados e os angulos oppostos do parallelogrammo ABCD são eguaes: e que a diagonal BC divide o mesmo parallelogrammo ABDC em duas partes eguaes.
Sendo AB, CD parallelas, e cortadas pela recta
BC, os angulos alternos ABC, BCD serão eguaes ( Pr. 29, 1
). Tambem por serem parallelas as duas AC, BD, e cortadas pela
mesma recta BC, devem ser eguaes entre si os angulos alternos
ACB, CBD. Logo os dous triangulos ABC, CBD tem dous angulos ABC,
BCA eguaes a dous angulos BCD, CBD, cada um a cada um, e um lado
egual a um lado, que vem a ser o lado commum BC adjacente aos
angulos eguaes. Logo os outros lados serão eguaes aos outros
lados, cada um a cada um, e o angulo, que resta , egual ao outro
angulo, que resta ( Pr. 26, 1 ). Logo será AB=CD, AC=BD,
e o angulo BAC=BDC. E sendo ABC=BCD, e CBD=ACB; será o angulo
total ABD=ACD tambem toal. Mas temos demonstrado ser o angulo
BAC=BDC. Logo os lados e os angulos oppostos do parallelogrammo
ABDC são eguaes. Deve-se agora demonstrar, que o parallelogrammo
ABDC fica dividido em duas partes eguaes pela diagonal BC. Sendo
AB=CD, e BC commum, serão as duas AB, BC eguaes ás duas DC, CB,
cada uma a cada uma. Mas temos o angulo ABC=BCD. Logo será o
triangulo ABC=BCD outro triangulo ( Pr. 4, 1 ). Logo a
diagonal BC divide em duas partes eguaes o parallelogrammo ABDC.
PROP. XXXV. THEOR.
Os parallelogrammos, que estão postos sobre
a mesma base, e entre as mesmas parallelas, são eguaes ( Pr.
56, 57 ).
Sejam os parallelogrammos ABCD, EBCF sobra a mesma base BC ( Fig. 57 ), e entre as mesmas parallelas AF, BC. Digo, que o parallelogrammo ABCD é egual ao parallelogrammo EBCF.
Se os lados AD, DF ( Fig. 56 ) dos parallelogrammos ABCD, DBCF oppostos á base commum BC tiverem um termo commum D; claro está, que, sendo os parallelogrammos ABCD, DBCF cada um o dobro do mesmo triangulo BDC ( Pr. 34, 1 ), serão eguaes entre si.
 Fig. 56 |
Mas os lados AD, EF ( Fig. 57 ) não
sejam terminados no mesmo ponto. No parallelogrammo ABCD é AD=BC
( Pr. 34, 1 ), e no parallelogrammo EBCF é EF=BC. Logo
será AD=EF ( Ax. 1 ). Ajuncte-se a mesma recta DE, ou
tire-se. Será AE=DF, isto é, o todo egual ao todo, ou o resto
egual ao resto ( Ax. 2, 3 ). Mas é AB=DC. Logo as duas
EA, AB são eguaes ás duas FD, DC, cada uma a cada uma. Mas o
angulo externo FDC é egual ( Pr. 29, 2 ) ao interno EAB.
Será o triangulo EAB=FDC outro triangulo ( Pr. 4, 1 ). Do
trapezio ABCF tire-se o triangulo FDC; e do mesmo trapezio ABCF
tire-se o triangulo EAB. Logo os parallelogrammos ABCD, EBCF, que
são os restos, serão eguaes ( Ax. 3 ) entresi.
 Fig. 57 |
PROP. XXXVI. THEOR.
Os parallelogrammos, que estão postos sobre bases eguaes, e entre as mesmas parallelas, são eguaes ( Fig. 58 ).
 Fig. 58 |
Os parallelogrammos ABCD, EFGH estejam postos sobre as bases eguaes BC, FG, e entre as mesmas parallelas AH, BG. Digo, que estes parallelogrammos são eguaes.
Tirem-se as rectas BE, CH. Sendo BC=FG, e FG=EH
( Pr. 34, 1 ), será BC=EH. Mas BC, EH são parallelas; e
entre os termos d'ellas B, E, C, H estão tiradas as rectas BE,
CH; e as rectas, que estão tiradas entre os extremos de duas
outras eguaes e parallelas, e da mesma parte são tambem eguaes e
parallelas ( Pr. 33, 1 ). Logo EB, CH são eguaes e
parallelas. Logo EBCH é um parallelogrammo, egual ao
parallelogrammo ABCD ( Pr. 35, 1 ), por ter a mesma base
BC, e por estar entre as mesmas parallelas BC, AD. Pela mesma
razão será o parallelogrammo EFGH=EBCH outro parallelogrammo.
Logo os parallelogrammos ABCD, EFGH serão eguaes entre si.
PROP. XXXVII. THEOR.
Os triangulos, que estão postos sobre a mesma base, e entre as mesmas parallelas, são eguaes ( Fig. 59 ).
 Fig. 59 |
Os triangulos ABC, DBC estejam postos sobre a mesma base BC, e entre as mesmas parallelas AD, BC. Digo, que os triangulos ABC, DBC são eguaes.
Produza-se AD de uma e outra parte para E, e F,
e pelo ponto B tire-se BE parallela a CA, e pelo ponto C tire-se
CF parallela a BD ( Pr. 31, 1 ). Logo EBCA, DBCF serão
dous parallelogrammos. Mas estes parallelogrammos são eguaes ( Pr.
35, 1 ), por estarem sobre a mesma base BC, e entre as mesmas
parallelas BC, EF; e o triangulo ABC é ametade ( Pr. 34,
1 ) do parallelogrammo EBCA, que fica dividido em duas partes
eguaes pela diagonal AB, como tambem o triangulo DBC é ametade
do parallelogrammo DBCF, que é dividido em duas partes eguaes
pela diagonal DC. Logo será o triangulo ABC=DBC outro triangulo,
porque as ametades de quantidades eguaes são tambem eguaes ( Ax.
7 ).
PROP. XXXVIII. THEOR.
Os triangulos, que estão sobre bases eguaes, e entre as mesmas parallelas, são eguaes ( Fig. 60 ).
 Fig. 60 |
Sejam os triangulos ABC, DEF postos sobre as bases eguaes BC, EF, e entre as mesmas parallelas BF, AD. Digo, que os triangulos ABC, DEF são eguaes.
Produza-se de uma e outra parte a recta AD para
G, e H; e pelo ponto B tire-se a recta BG parallela a CA, e pelo
ponto F a recta FH parallela a ED ( Pr. 31, 1 ). Serão
GBCA, DEFH dous parallelogrammos. Mas estes parallelogrammos são
eguaes ( Pr. 36, 1 ), porque estão sobre as bases eguaes
BC, EF, e entre as mesmas parallelas BF, GH; e o triangulo ABC é
ametade do parallelogrammo GBCA, como tambem o triangulo DEF é
ametade do parallelogrammo DEFH ( Pr. 34, 1 ). Logo será
o triangulo ABC=DEF outro triangulo, por serem eguaes as ametades
de quantidades eguaes ( Ax. 7 ).
PROP. XXXIX. THEOR.
Os triangulos eguaes postos sobre a mesma base, e da mesma parte, estão entre as mesmas parallelas ( Fig. 61 ).
 Fig. 61 |
Sejam os triangulos ABC, DBC sobre a mesma base BC, e da mesma parte. Digo, que os triangulos ABC, DBC estão entre as mesmas parallelas.
Tire-se a recta AD. Digo, que AD é parallela a
BC. Se AD não é parallela a BC, pelo ponto A se faça passar
outra recta AE parallela ( Pr. 31, 1 ) a BC, e se tire EC.
Logo os triangulos ABC, EBC, são eguaes ( Pr. 37, 1 ),
por estarem ambos sobre a mesma base BC, e entre as mesmas
parallelas BC, AE. Mas é o triangulo ABC=DBC outro triangulo.
Logo será DBC=EBC, isto é, um triangulo maior egual a um menor,
o que não póde ser. Logo as rectas AE, BC não são parallelas.
O mesmo se demonstra de outra recta qualquer, que não seja a
recta AD. Logo AD é parallela a BC.
PROP. XL. THEOR.
Os triangulos eguaes postos sobre bases eguaes, e da mesma parte, estão entre as mesmas parallelas ( Fig. 62 ).
 Fig. 62 |
Sejam os triangulos eguaes ABC, DEF sobre as bases eguaes BC, EF, e da mesma parte. Digo, que estes triangulos estão entre as mesmas parallelas.
Tire-se a recta AD. Digo, que Ad é parallela a
BF. Se AD não é parallela a BF, pelo ponto A tire-se AG
parallela ( Pr. 31, 1 ) a BF, e se conduza a recta GF. Os
triangulos ABC, GEF são eguaes ( Pr. 38, 1 ), porque
estão postos sobre as bases eguaes BC, EF, e entre as mesmas
parallelas BF, AG. Mas o triangulo ABC é egual ao triangulo DEF.
Logo será tambem DEF=GEF, isto é, um triangulo maior egual a um
menor, o que não é possivel. Logo AG não é parallela a BF. Do
mesmo mode se prova, que nenhuma outra recta, fóra a recta AD,
é parallela a BF. Logo as duas AD, BF são parallelas.
PROP. XLI. THEOR.
Se um parallelogrammo e un triangulo estiverem sobre a mesma base, e entre as mesmas parallelas; o parallelogrammo será o dobro do triangulo ( Fig. 63 ).
 Fig. 63 |
Estejam sobre a mesma base BC, e entre as mesma parallelas BC, AE o parallelogrammo ABCD, e o triangulo EBC. Digo, que o parallelogrammo ABCD é o dobro do triangulo EBC.
Tire-se a recta AC. Logo os triangulos ABC, EBC
são eguaes ( Pr. 37, 1 ), por estarem sobre a mesma base
BC, e entre as mesmas parallelas BC, AE. Mas o parallelogrammo
ABCD é o dobro do triangulo ABC ( Pr. 34, 1 ), porque é
dividido em duas partes eguaes pela diagonal AC. Logo tambem o
parallelogrammo ABCD será o dobro do triangulo EBC.
PROP. XLII. PROB.
Construir um parallelogrammo, que seja egual a um triangulo dado, e que tenha um angulo egual a outro angulo dado ( Fig. 64 ).
 Fig. 64 |
Seja dado o triangulo ABC, e o angulo rectilineo D. Deve-se construir um parallelogrammo egual ao triangulo ABC, e com um angulo egual ao angulo D.
Divida-se a base BC em duas partes eguaes ( Pr.
10, 1 ) no ponto E; tire-se AE, e com a recta EC no ponto E se
faça ( Pr. 23, 1 ) o angulo CEF=D. Pelo ponto A se
conduza AG parallela ( Pr. 31, 1 ) a EC, e pelo ponto C a
recta CG parallela a EF. Será FECG em parallelogrammo. E sendo
BE=EC, o triangulo ABE será egual ao triangulo AEC ( Pr.
38, 1 ), por estarem ambos sobre as bases eguaes BE, EC, e entre
as mesmas parallelas BC, AG. Logo o triangulo ABC é o dobro do
triangulo AEC. Mas tambem o parallelogrammo FECG é o dobro ( Pr.
41, 1 ) do mesmo triangulo AEC, que se acha sobre a mesma base, e
entre as mesmas parallelas que o parallelogrammo FECG. Logo o
parallelogrammo FECG é ( Ax. 6 ) egual ao triangulo ABC,
e tem o angulo CEF=D, que é o angulo dado. Logo temos
constituido o parallelogrammo, que se pedia.
PROP. XLIII. PROB.
Em qualquer parallelogrammo os complementos dos parallelogrammos, que existem ao redor da diagonal, são eguaes entre si ( Fig. 65 ).
 Fig. 65 |
Seja o parallelogrammo ABCD, cuja diagonal é AC; e existam ao redor da diagonal AC os parallelogrammos EH, FG; e os que se chamam complementos, serão os dous parallelogrammos BK, KD. Digo, que o complemento BK é egual ao complemento KD.
No parallelogrammo ABCD os dous triangulos ABC,
ADC, são eguaes ( Pr. 34, 1 ); como tambem os dous AEK,
AHK no parallelogrammo KGCF. Logo sendo o triangulo AEK egual ao
triangulo AHK, e KGC=KFC; os dous AEK, KGC junctos serão eguaes
aos dous tambem junctos AHK, KFC. Mas o triangulo total ABC é
egual ao triangulo total ADC ( Pr. 34, 1 ). Logo o
residuo, que é o complemento BK, será egual ao residuo, que é
o outro complemento KD.
PROP. XLIV. THEOR.
Sobre uma linha recta dada construir um parallelogrammo egual a um triangulo dado, e que tenha um angulo egual a outro angulo rectilineo dado ( Fig. 66 ).
 Fig. 66 |
Seja dada a recta AB, o triangulo C, e o angulo rectilineo D. Deve-se construir sobre a recta dada AB um parallelogrammo egual ao triangulo C, e que tenha um angulo egual ao angulo D.
Faça-se ( Pr. 42, 1 ) o parallelogrammo BEFG egual ao triangulo C, e com um angulo EBG egual ao angulo D. Ponha-se BE en direitura com a recta AB, e produza-se FG para H; e pelo ponto A se tire AH parallela ( Pr. 31, 1 ) a BG, ou EF; e finalmente seja conduzida a recta HB. Porque as parallelas AH, EF são cortadas pela recta HF, os angulos AHF, HFE serão eguaes a dous rectos ( Pr. 29, 1 ). Logo os dous angulos BHF, HFE são menores que dous rectos. Mas as rectas, que com uma terceira fazem os angulos internos, e da mesma parte menores que dous rectos, produzidas ao infinito finalmente concorrem ( Ax. 12 ). Logo as duas rectas HB, FE devem concorrer. Produzam-se pois, e concorram no ponto K. Por este ponto tire-se as recta KL parallela a EA, ou FH, e sejam produzidas as rectas HA, GB até L, e M. Logo HLKF é um parallelogrammo, cujo diametro é HK, e ao redor d'este diametro HK existem os parallelogrammos AG, ME, cujos complementos são os parallelogrammos LB, BF. Logo será LB=BF ( Pr. 43, 1 ). Mas o complemento BF é egual ao triangulo C. Logo o complemento LB será egual ao mesmo triangulo C. E porque o angulo GBE é egual ao angulo ABM ( Pr. 15, 1 ), e tambem é egual ao angulo D; será o angulo ABM=D. Logo sobre a linha recta dada AB temos construido o parallelogrammo LB egual ao triangulo dado C, ecom um angulo ABM egual ao proposto D.
