NONIUS
n21 ISSN 0870-7669 Nov.Dez 1989
Folha Informativa do Projecto "Computação no Ensino da Matemática"

Os computadores e o ensino da análise elementar
por Jaime Carvalho e Silva

3. Limites (1 parte)

Pode parecer à primeira vista que os computadores nada têm a ver com o cálculo de limites. Não abordaremos aqui o facto de determinados programas calcularem derivadas simbolicamente e portanto conseguirem aplicar com sucesso a regra de L'Hospital, quando esta se pode aplicar, claro. A questão que iremos abordar diz respeito ao cálculo de limites que não podem ser tratados pela regra de L'Hospital. como por exemplo

Que contribuição poderá dar o computador neste campo? Claro que não poderemos ir muito longe, mas um certo número de actividades de índole numérica poderão ter algum interesse de ordem pedagógica. Uma dessas actividades é facilitada por um dos módulos do programa MICROCALC, o de LIMITES (que faz parte do disco de demonstração do MICROCALC, que é distribuido pelo nonius - ver nonius n 17).

Com esse módulo podemos ir calculando valores de F(x) com x cada vez mais próximo dum valor a previamente escolhido. Em seguida o computador faz uma extrapolação para obter uma estimativa de

unicamente a partir dos valores F(x) já calculados. Isto significa que ficaremos com uma ideia de como f se comporta quando x tende para a.

Claro que este método não serve quando se pretende carcular efectivamente o limite pois apenas se calcula um número finito de valores de F(x) e o computador depois tenta "adivinhar" o valor do limite em face da evidência numérica já obtida. Como poderemos observar com um exemplo essa extrapolação é bastante eficiente. Calculemos por exemplo

Para calcular valores de F(x) com x próximo de a, o computador calcula

com h previamente escolhido (embora arbitrário) e a sucessivamente maior. No primeiro cálculo (n=0) obtemos F(a+h), no segundo (n=l) obtemos F(a+h/2) no terceiro (n=2) obtemos F(a+h/4) e assim sucessivamente.

Começando com h=1 e ao fim de 5 cálculos obtemos o seguinte quadro:

n F(a+h/2^n)
-------------------

0 0.84147 0985
1 0.95885 1077
2 0.98961 5837
3 0.99739 7867
4 0.99934 9085

Tomando como base todos os
valores de F já calculados,
estimamos

lim F(x)= 0.99999 9632
x->a

Carregue qualquer tecla:

Ao fim.de 7 cálculos já o programa consegue extrapolar o limite que nós sabemos ser correcto, com 9 casas decimais exactas:

n F(a+h/2^n)
-------------------

0 0.84147 0985
1 0.95885 1077
2 0.98961 5837
3 0.99739 7867
4 0.99934 9085
5 0.99983 7248
6 0.99995 9310

Tomando como base todos os
valores de F já calculados,
estimamos

lim F(x)= 1.00000 0000
x->a

Carregue qualquer tecla:

 

Podemos mandar os alunos repetir esta experiência, começando com valores de h diferentes, mas não demasiado pequenos, porque senão o computador não consegue efectuar os cálculos por ter de calcular o valor de num ponto que o computador arredonda para zero.

Que se poderá obter com esta actividade?

Apenas ajudar a convencer o aluno que o limite acima é efectivamente 1. Actividades semelhantes podem ser idealizadas para outros limites pouco convincentes para o aluno como


Mas onde me parece que se podem obter resultados mais interessantes é quando se pretende convencer um aluno que determinado limite não pode existir. Todos já experimentámos dificuldades ao tentar convencer os alunos que os limites



não existem. O módulo LIMITES do programa MICROCALC irá permitir-nos juntar uma acha importante à fogueira da não existência desses limites.

Tentemos calcular o segundo dos limites acima. Como o computador não pode operar com +, teremos primeiro de fazer uma mudança de variável para calcular o limite equivalente

Comecemos com h=1. Ao fim de 5 iterações observamos que o computador dá um resultado totalmente disparatado, pois o limite, a existir, teria de estar entre menos um e um, por ser

-1 sen x 1, " x Î Â

Mas o computador afirma que

n F(a+h/2^n)
-------------------

0 0.84147 0985
1 0.90929 7427
2-0.75680 2495
3 0.98935 2847
4-0.28790 3317

Tomando como base todos os
valores de F já calculados,
estimamos

lim F(x)= -4.70774 3059
x->a

Carregue qualquer tecla:

o que deixa qualquer um intrigado. Ao fim de 8 iterações observamos que

n F(a+h/2^n)
-------------------

0 0.84147 0985
1 0.90929 7427
2-0.75680 2495
3 0.98935 2847
4-0.28790 3317
5 0.55142 6681
6 0.92002 6038
7 0.72103 7711
8-0.99920 8034

Tomando como base todos os
valores de F já calculados,
estimamos

lim F(x)= -4.96978 6842
x->a

Carregue qualquer tecla:

e ao fim de 15 iterações (o máximo que o programa permite de modo a garantir fiabilidade dos cálculos), e quando h já tem valor , obtemos:

n F(a+h/2^n)
-------------------

0 0.84147 0985
1 0.90929 7427
2 -0.75680 2495
3 0.98935 2847
4 -0.28790 3317
5 0.55142 6681
6 0.92002 6038
7 0.72103 7711
8 -0.99920 8034
9 0.07951 8494
10-0.15853 3380
11-0.31305 7014
12-0.59464 1989
13-0.95617 3154
14-0.55993 8461
15 0.92785 6329

Tomando como base todos os
valores de F já calculados,
estimamos

lim F(x)= -4.14275 8050
x->a

Carregue qualquer tecla:

Que concluir?

Olhando para os valores de F(x) que se vão obtendo, observamos que oscilam de maneira desordenada sem qualquer aparência de regularidade (embora todos pertencentes ao intervalo [-1,1]). Que poderia o programa concluir, se os valores de F(x) não parecem aproximar-se de nenhum número real?

Experimentando com outros valores de h vamos obter resultados semelhantes (ficando apenas limitados pela capacidade do computador).

Estas experiências numéricas poderão permitir que o aluno fique efectivamente convencido de que os limites acima não existem. Claro que esta actividade por si só não é suficiente para concluir tal, mas penso que ajuda muito em termos pedagógicos.

(continua)

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