NONIUS
n21 ISSN 0870-7669 Nov.Dez 1989
Folha Informativa do Projecto "Computação no Ensino da Matemática"

Ensino da noção de período com o auxílio do computador
por Natália Almeida e Maria Paula Carvalho

 

0. Objectivos
Neste texto apresentamos uma hipótese de estudo da noção de período, utilizando o programa "Trigonometria" (que o "nonius" distribui - ver "nonius=" n 17). Começamos por descrever brevemente o programa fazendo em seguida algumas considerações sobre as funções periódicas. Por fim apresentamos duas fichas que propomos sejam usadas, pelos alunos, para introduzir (de modo mais efectivo, esperamos) o estudo da noção de período. Agradecemos todas as observações e criticas dos colegas, nomeadamente se utilizarem estas fichas nas suas aulas ou como complemento delas.

 

1. Apresentação do programa

NOME: " Trigonometria "

COMPUTADOR: IBM-PC (ou compatível) com placa CGA ou equivalente, de preferência a cores.

UTILIZAÇÃO:

I- Introduzir a diskette na "drive" A.
2- Ligar o computador - o programa começa então a correr automaticamente.
3- Todas as instruções são dadas no programa pelo que, para o continuar, basta obedecer às instruções.

 

NOTAS:
1) Quando é introduzido um dado numérico, deve a seguir pressionar-se a tecla "ENTER" (ou "RETURN").
2) Os números reais não devem ser escritos com mais de duas casas decimais (no computador, o ponto representa a vírgula).

 

0 programa "Trignometria" divide-se em duas partes com objectives diferentes: a 1 parte trata do estudo de funções trigonométricas no universo das amplitudes; a 2 parte trata do estudo das funções compostas y=a+b sen cx e y=a+b cos cx (a,b,c Î R), tendo em vista o seu comportamento em função dos parâmetros a, b e c. A 1 parte poderá ser útil aquando da abordagem do tema trigonometria, funcionando como material didáctico usado pelo professor na aula (ou até usado individualmente pelo aluno fora da aula, mas apenas para reforço informativo); a 2 parte tem em vista uma utilização mais directa pelo aluno, para resolver exercícios que lhe poderão ser propostos, por exemplo, os exercícios sugeridos na ficha que a seguir apresentamos. 0 principal objective é que o aluno descubra como variam o período e o contradomínio das funções trigonométricas quando se fazem variar os parâmetros a, b e c, nomeadamente qual ou quais destes parâmetros afectam o contradomínio e, de que modo! Daí, ajudar a compreender também qual a importância do conhecimento de que uma função é periódica e qual o "menor" intervalo que basta considerar de modo a fazer um estudo completo de tal função.

Não se pretende, de modo algum, que o programa e o computador substitua o professor. 0 "Trigonometria" não é um programa demonstração, não pretende "ensinar" qualquer matéria, mas somente servir de material a utilizar pelo professor na aula (1 parte) ou pelos alunos em trabalho individual ou de grupo (2 parte).

 

2. As funções periódicas
Uma função f real de variável real diz-se periódica se e só se existe um número real positivo k tal que

(1) f ( x+k ) = f ( x ), " x Î Df

0 número real positivo k diz-se um período da função f. Qualquer múltiplo de k (número da forma nk, n Î Z ), é também um período da função, o que significa que existe uma infinidade de períodos de uma função periódica; com efeito,

f ( x+2k ) = f ( x+k+k ) = f ( x+k ) = f ( x )

e demonstra-se facilmente por indução que

f ( x+nk ) = f ( x ), " x Î Df,, n Î N

Por outro lado, também

f ( x-k ) = f ( x-k+k ) = f ( x )

e, portanto,

f ( x-nk ) = f ( x ) , " x Î Df.

Dada uma função periódica, ao menor número real positivo k que verifique a relação (1), se existir, alguns autores chamam o período da função ou período positivo mínimo .

Poderá não existir período positivo mínimo. Por exemplo, para f definida por

qualquer número racional positivo é período da função, e como Q+ não tem mínimo não é possível, portanto, determinar o menor número racional positivo k, que verifica (1).

De qualquer modo, a função "repete--se" em conjuntos do tipo

nk+[ 0,k[ Ç Df = [ nk,(n+l)k [ Ç Df,, n Î Z

se k for um período de f, isto é, qualquer que seja y, se

y Î [nk,,(n+1)k[ Ç Df

então,

f(y) = f(y-nk).

Isto significa que o comportamento de f fica completamente determinado se soubermos como se comporta no conjunto

[ 0, k [ Ç Df.

Podemos aplicar o mesmo raciocínio para concluir que basta saber como se comporta f num qualquer conjunto do tipo

[ xo,xo+k [Ç Df.

Em particular, tem por vezes interesse considerar apenas

[ -k/2,k/2 [ Ç Df.

Uma observação importante é que o domínio de uma função periódica não pode ser um conjunto qualquer; tem, digamos, que ser também "periódico", isto é, se

[ 0, k [ Ç Df = A

então

Df =

Claro que [ 0, k [ Ç Df não é necessariamente [0,k[, corno no caso da função tangente; também não é necessariamente um intervalo, como no caso de

f ( x ) = tg x . sen x

em que é [ 0,p /2 [ È ] p /2, p ]; nem é necessariamente um intervalo nem até uma reunião de intervalos, como no caso de

f ( x ) = 1 se x Î Q

em que [0,k[Ç Df., para qualquer racional k é o conjunto dos racionais que estão no intervalo [0,k[.

Como consequência da repetição do comportamento de uma função periódica em conjuntos, podemos obter uma expressão geral para os zeros e extremos locais de uma função periódica. Com efeito, se x0 é um zero de uma função periódica de período k, todos os números reais da forma x0 + nk, n Î Z, são zeros da função. Analogamente, se a função atinge um máximo local (respectivamente, um mínimo local) para x=m0 o mesmo acontece para todos os valores de x da forma m0+nk, n Î Z. 0 mesmo se verifica para pontos de descontinuidade, para pontos onde a função não esteja definida (não pertencentes ao domínio) e assim sucessivamente.

No caso concreto das funções trigonométricas, sabendo que 2p é o período da função co-seno, bastará estudar esta função em [0,2p [ ou [-p ,p [. A função definida por y=cos 2x tem período p , pelo que é suficiente estudar esta função em [0, p [ ou [-p /2, p /2[, e a função definida por y=cos 3x tem período 2p /3 pelo que devemos estudar a função em [0, 2p /3[ ou [-p /3, p /3[.

É importante, em termos pedagógicos, que seja o aluno a verificar com base na sua própria experiência que o período da função y=cos ax aumenta quando a diminui e diminui quando a aumenta. O aluno não ficará convencido com uma demonstração analítica (que não assimilará, certamente), mas com o computador poderá experimentar tantas vezes quantas as necessárias até ser levado a concluir que assim é. Este exercício ajuda, também, o aluno a interpretar os gráficos em coordenadas cartesianas, a ver a relação de dependência entre x e y, e além disso a organizar o seu trabalho de modo a poder tirar conclusões.

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