EDPS

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Equações com Derivadas Parciais

Mestrado em Matemática - 2000/2001

Informações Gerais

Gabinete: 5.7
Telefone: 239 791 132
Fax: 239 832 568
E-mail: jmurb@mat.uc.pt

Resumo: A disciplina consiste numa introdução moderna ao estudo das equações com derivadas parciais. São enfatizados os aspectos relativos à existência, unicidade e regularidade de soluções fracas, em detrimento da procura de soluções explícitas, usando essencialmente métodos funcionais e estimativas. São tratadas equações lineares elípticas e parabólicas e desenvolvidos alguns tópicos relativos a equações não lineares.

Pré-requisitos: Supõem-se os alunos familiarizados com conceitos elementares de Análise Funcional (espaços de Banach e Hilbert; operadores lineares limitados; operadores compactos; convergência fraca) e de Teoria da Medida (medida e integral de Lebesgue; espaços de Lebesgue; teoremas de convergência para integrais: lema de Fatou, teoremas da convergência monótona e da convergência dominada).

Aulas: de 25 de Setembro a 19 de Dezembro de 2000 e de 8 a 16 de Janeiro de 2001

Horário das aulas: segunda-feira, 14h00-17h00, na Sala 5.3

Horário de atendimento: segunda-feira, 17h30-19h30, no Gabinete 5.7

Data do exame final: 23/Fev/2001, 9h00-10h30 e 10h45-13h00, na Sala 5.5

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Programa

I-Equações Lineares

0. Revisões sobre Espaços de Sobolev (25/Set)

1. Equações elípticas de segunda ordem (2/Out; 9/Out; 16/Out; 23/Out; 30/Out)

1.1 Definições. Existência de soluções fracas: o teorema de Lax-Milgram; estimativas de energia; a alternativa de Fredholm.
1.2 Regularidade no interior e na fronteira: o método dos quocientes diferenciais de Nirenberg.
1.3 Princípios do máximo. A desigualdade de Harnack.
1.4 A teoria de De Giorgi-Nash-Moser: limitação local e continuidade Hölderiana.

2. Equações parabólicas de segunda ordem (6/Nov; 13/Nov; 20/Nov)

2.1 Definições. Existência de soluções fracas: o método de Galerkin.
2.2 Regularidade.
2.3 Princípios do máximo. A desigualdade de Harnack parabólica.

3. Teoria dos semigrupos lineares (27/Nov)

3.1 Definições. Principais propriedades.
3.2 Geradores de semigrupos de contracção: o teorema de Hille-Yosida.
3.3 Aplicações à resolução de problemas parabólicos lineares.

II-Equações Não Lineares

4. Cálculo das Variações (4/Dez; 11/Dez; 18/Dez)

4.1 Introdução. A equação de Euler-Lagrange.
4.2 Existência de minimizantes: coercividade, semicontinuidade inferior e convexidade. Soluções fracas da equação de Euler-Lagrange.
4.3 Regularidade. Restrições unilaterais: inequações variacionais; problemas com fronteira livre.

5. Métodos não variacionais (8/Jan; 15/Jan)

5.1 Métodos de monotonia: operadores monótonos; o lema de Minty-Browder.
5.2 Métodos do ponto fixo de Banach e Schauder.

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Bibliografia

Texto Recomendado

Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, AMS, 1998.
Errata on line em LaTeX

Outras Referências

Haïm Brézis, Analyse Fonctionnelle, Masson, 1983.
Haïm Brézis e Felix Browder, Partial differential equations in the 20th century, Advances in Mathematics 135 (1998), 76-144.
Emmanuele DiBenedetto, Partial Differential Equations, Birkhäuser, 1995.
Mariano Giaquinta, Introduction to Regularity Theory for Nonlinear Elliptic Systems, Birkhäuser, 1993.
David Gilbarg e Neil Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, (2nd ed.), Springer, 1983.
Enrico Giusti, Metodi Diretti nel Calcolo delle Variazioni, Unione Matematica Italiana, 1994.
Qing Han e Fanghua Lin, Elliptic Partial Differential Equations, Courant Lecture Notes in Mathematics 1, 1997.
Fritz John, Partial Differential Equations, (4th ed.), Springer, 1982.
David Kinderlehrer e Guido Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, 1980.
Olga Ladyzhenskaya, Vsevolod Solonnikov e Nina Ural'tseva, Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type, AMS, 1968.
Olga Ladyzhenskaya e Nina Ural'tseva, Linear and Quasilinear Elliptic Equations, Academic Press, 1968.
Jacques-Louis Lions, Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites non Linéaires, Dunod, 1969.
Michael Taylor, Partial Differential Equations, Vol. I-III, Springer, 1996.
Joseph Wloka, Partial Differential Equations, Cambridge University Press, 1987.

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Trabalhos para Casa

Cada trabalho para casa consiste numa lista de 2 ou 3 problemas que têm que ser resolvidos individualmente pelos alunos e entregues no gabinete do professor impreterivelmente até às 15h30m da data de entrega.

Os alunos têm que entregar 5 dos 6 trabalhos propostos. Cada trabalho tem um peso de 5% na avaliação. Caso sejam entregues os 6 trabalhos propostos, serão considerados para efeitos de avaliação os 5 melhores.

Trabalho 1 (sobre existência e regularidade para equações elípticas)

Recepção: 23 Out 2000
Entrega:    03 Nov 2000

Trabalho 2 (sobre operadores elípticos)

Recepção: 06 Nov 2000
Entrega:    20 Nov 2000

Trabalho 3 (sobre equações parabólicas)

Recepção: 20 Nov 2000
Entrega:    30 Nov 2000

Trabalho 4 (sobre a teoria dos semigrupos lineares)

Recepção: 04 Dez 2000
Entrega:    19 Dez 2000

Trabalho 5 (sobre Cálculo das Variações)

Recepção: 8 Jan 2001
Entrega:    22 Jan 2001

Trabalho 6 (sobre métodos não variacionais)

Recepção: 22 Jan 2001
Entrega:    09 Fev 2001

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Avaliação

5 trabalhos para casa (notas: TPC1,...,TPC5)
Exame final
- parte sem consulta (nota: E1), com a duração de 1h30m
- parte com consulta (nota: E2), com a duração de 2h15m
Nota Final = 0.05 x (TPC1+...+TPC5) + 0,3 x E1 + 0,45 x E2

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