Teoria Construtiva da Aproximação
Destinatários: Mestrado em Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Resumo:
O objectivo do curso é o de estudar o problema da melhor aproximação em espaços de Banach e de Hilbert. Veremos as vantagens da aproximação racional e, dentro desta, dos chamados aproximantes de Padé. Construiremos a tabela de Padé associada a uma dada função e analisaremos a convergência por linhas e diagonal dos elementos da tabela de Padé. Como aplicação estudaremos a convergência dos aproximantes de Padé para funções tipo de Markov.
Plano do Curso
  1. Sucessões e Séries de Funções. Construção de Aproximantes Racionais para Números Reais.
  2. Sucessões Fechadas e Completas em Espaços Vectoriais Normados. Teoremas de Muntz e de Weierstrass.
  3. Caracterização da Melhor Aproximação em Normas ||.||∞, ||.||2,w, com w função peso definida num subconjunto de R. Teoremas de Chebychev, de la Vallé Poussin, Jackson e Bernstein.
  4. Alguns Resultados da Teoria Qualitativa da Aproximação. Teoremas de Runge e Mittag-Leffler. Teorema de Faber. Funções Geradoras.
  5. Aproximação Racional. Vantagens Relativamente à Polinomial. Teoremas de Zeidel-Stern, Stolz, Van Vleck e Worpitzky. Teorema de Montel.
  6. Aproximantes de Padé.  Tabela de Padé. Exemplos: exp z, sin z, tan z. Convergência Uniforme e Quase-Uniforme das Linhas e Diagonais dos Elementos da Tabela de Padé. Teoremas de Montessus de Ballore e de Hadamard.
  7. Teorema de Markov. Paralelismo Entre Aproximantes de Padé, Fracções Contínuas e Polinómios Ortogonais. Problema de Momentos. Comportamento Assimptótico dos Polinómios Ortogonais. Aproximantes de Hermite-Padé.
Referências
  • N.I. Achieser, Theory of Approximation, Dover Publ., Inc. New York, 1992.
  • G.A. Baker and P.R. Morris, Padé approximants, Part I: Basic Theory, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 13, Addison-Wesley Publishing Company, 1981.
  • E.M. Nikishin and V.N. Sorokin, Rational approximations and orthogonality, vol. 92, Translations of Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1991.
  • G. Szegő, Orthogonal Polynomials, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., vol. 23, Providence, Rhode Island, 1975 (Forth Ed.).
  • V.M. Tikhomirov, Approximation Theory, Encyclopedia of Math. Sciences, Vol. 14, Springer-Verlag, 1991.
  • A.F. Timan, Theory of Approximation of Functions of a Real variable, International Series and Monographs on Pure and Applied Mathematics, vol. 34, Pergamon Press, Oxford, 1963.
  • J.L. Walsh, Interpolation and Approximation by Rational Functions in the Complex Plane, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., vol. 20, Amer. Math. Soc., Providence R. I., 1935; rev. ed., 1965.
Exames
1999 2000

 
Amílcar Branquinho

ajplb@mat.uc.pt