EDPS

EDPS
Equações com Derivadas Parciais

Mestrado em Matemática - 2004/2005

Informações Gerais

Gab.:      5.7
Tel.:        239 791 132
Fax:        239 832 568
e-mail:   jmurb@mat.uc.pt

Resumo: A disciplina é uma introdução ao estudo das equações com derivadas parciais (EDPs) lineares. A primeira parte é dedicada a três EDPs clássicas: as equações de Laplace, do calor e das ondas. Estas equações, para as quais são deduzidas algumas soluções explícitas, são os protótipos, respectivamente, das equações lineares elípticas, parabólicas e hiperbólicas, analisadas na segunda parte do curso num quadro abstracto geral. São aí tratadas questões de existência, unicidade e regularidade de soluções fracas, usando essencialmente métodos funcionais e estimativas, introduzidos como motivação na primeira parte.

Pré-requisitos: Domínio das principais técnicas de Cálculo Avançado. Para a segunda parte do curso é conveniente que os alunos estejam familiarizados com conceitos elementares de Análise Funcional Linear (espaços de Banach e Hilbert; operadores lineares limitados; operadores compactos; convergência fraca) e de Teoria da Medida (medida e integral de Lebesgue; espaços de Lebesgue; teoremas de convergência para integrais: lema de Fatou, teoremas da convergência monótona e da convergência dominada).

Aulas: de 20 de Setembro de 2004 a 5 de Janeiro de 2005

Horário das aulas: terça-feira, 14h30-17h30, na Sala 5.3

Horário de atendimento: terça-feira, 18h00-20h00, no Gabinete 5.7

Data do exame final: 18/Jan/2005, 9h00-10h30 e 10h45-13h00, na Sala ??

Data do exame de recurso: 15/Fev/2005, 9h00-10h30 e 10h45-13h00, na Sala ??

Início da página

Programa

I - As EDPs lineares clássicas

1. A equação de Laplace (21/Set; 28/Set; 12/Out)

1.1 Solução fundamental; a equação de Poisson; fórmulas do valor médio.
1.2 Propriedades das funções harmónicas: princípio do máximo forte; unicidade; regularidade; estimativas locais; teorema de Liouville; analiticidade; desigualdade de Harnack.
1.3 A função de Green: casos de um semi-espaço e de uma bola.
1.4 Métodos de energia: o princípio de Dirichlet.

2. A equação do calor (19/Out;26/Out)

2.1 Solução fundamental; problema do valor inicial; problema não homogéneo; fórmula do valor médio.
2.2 Propriedades das soluções: princípio do máximo forte; unicidade; regularidade; estimativas locais.
2.3 Métodos de energia.

3. A equação das ondas (2/Nov)

3.1 Resolução usando médias esféricas: a fórmula de d'Alembert; as fórmulas de Kirchhoff e Poisson.
3.2 O problema não homogéneo.
3.3 Métodos de energia.

II - Teoria das EDPs lineares de segunda ordem

4. Revisões sobre Espaços de Sobolev (9/Nov)

5. Equações elípticas de segunda ordem (15/Nov; 16/Nov; 30/Nov)

5.1 Definições. Existência de soluções fracas: o teorema de Lax-Milgram; estimativas de energia; a alternativa de Fredholm.
5.2 Regularidade no interior e na fronteira: o método dos quocientes diferenciais de Nirenberg.
5.3 Princípios do máximo. A desigualdade de Harnack.

6. Equações parabólicas de segunda ordem (13/Dez; 14/Dez)

6.1 Definições. Existência de soluções fracas: o método de Galerkin.
6.2 Regularidade.
6.3 Princípios do máximo. A desigualdade de Harnack parabólica.

7. Equações hiperbólicas de segunda ordem (4/Jan)

7.1 Definições. Existência de soluções fracas: o método de Galerkin.
7.2 Regularidade.
7.3 Propagação das perturbações.

Início da página

Bibliografia

Texto Recomendado

Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, AMS, 1998.
Errata on line em LaTeX

Outras Referências

Haïm Brézis, Analyse Fonctionnelle, Masson, 1983.
Haïm Brézis e Felix Browder, Partial differential equations in the 20th century, Advances in Mathematics 135 (1998), 76-144.
Emmanuele DiBenedetto, Partial Differential Equations, Birkhäuser, 1995.
David Gilbarg e Neil Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, (2nd ed.), Springer, 1983.
Qing Han e Fanghua Lin, Elliptic Partial Differential Equations, Courant Lecture Notes in Mathematics 1, 1997.
Fritz John, Partial Differential Equations, (4th ed.), Springer, 1982.
Olga Ladyzhenskaya, Vsevolod Solonnikov e Nina Ural'tseva, Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type, AMS, 1968.
Olga Ladyzhenskaya e Nina Ural'tseva, Linear and Quasilinear Elliptic Equations, Academic Press, 1968.
Jacques-Louis Lions, Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites non Linéaires, Dunod, 1969.
Michael Taylor, Partial Differential Equations, Vol. I-III, Springer, 1996.
Joseph Wloka, Partial Differential Equations, Cambridge University Press, 1987.

Início da página

Trabalhos para Casa

Cada trabalho para casa consiste numa lista de 2 ou 3 problemas que têm que ser resolvidos individualmente pelos alunos e entregues ao professor, impreterivelmente, até às 14h30m da data de entrega.

Os alunos têm que entregar 3 dos 4 trabalhos propostos. Cada trabalho tem um peso de 7% na avaliação. Caso sejam entregues os 4 trabalhos propostos, serão considerados para efeitos de avaliação os 3 melhor classificados.

Trabalho 1 (sobre a equação de Laplace)

Recepção: 19 Out 2004
Entrega:    26 Out 2004

Trabalho 2 (sobre as equações do calor e das ondas)

Recepção: 09 Nov 2004
Entrega:    16 Nov 2004

Trabalho 3 (sobre equações elípticas)

Recepção: 30 Nov 2004
Entrega:    13 Dez 2004

Trabalho 4 (sobre equações parabólicas)

Recepção: 14 Dez 2004
Entrega:    04 Jan 2005

Início da página

Avaliação

3 trabalhos para casa (notas: TPC1,TPC2,TPC3)
Exame final
- parte sem consulta (nota: E1), com a duração de 1h30m
- parte com consulta (nota: E2), com a duração de 2h15m
Nota Final = 0.07 x (TPC1+TPC2+TPC3) + 0,39 x E1 + 0,40 x E2

Início da página