GEOMETRIA DIFERENCIAL

2005/06

2º Semestre, 2º Ano
Licenciaturas em Matemática e Engenharia Geográfica

Novidades:
(23/7/06) Notas do exame de recurso. As provas poderão ser consultadas na próxima quarta-feira, às 12h.
(22/7/06) Resolução do exame de recurso.
(21/7/06) Enunciado do exame de recurso.
(12/7/06) Notas do exame.
(10/7/06) Resolução do exame.
(06/7/06) Enunciado do exame.
(01/6/06) A natureza dos pontos do toro (Exercício 6.7).
(19/5/06) Notas dos testes.
(19/5/06) Soluções do teste nº 3.
(04/5/06) A não-orientabilidade da fita de Moebius [ATRACTOR].
(28/4/06) Enunciados do teste nº 3.
(27/4/06) Não há aulas no dia 4 de Maio.
(17/4/06) Conchas marinhas: a simplicidade e beleza da sua descrição matemática (Exemplos de superfícies - Aula 10/4/06).
(11/4/06) Os três tipos de toro (Aula 10/4/06).
(08/4/06) Exemplo de redução de uma quádrica à sua forma canónica (Aula 6/4/06).
(04/4/06) Notas dos testes.
(04/4/06) Soluções do teste nº 2.
(03/4/06) Enunciados do teste nº 2.
(09/3/06)A partir de hoje as aulas práticas são na Sala PMR.
(09/3/06) Notas dos testes.
(07/3/06) Soluções do teste nº 1.
(06/3/06) Enunciados do teste nº 1.
(04/3/06) Veja a curvatura, a torsão e o triedro de Frenet-Serret no Projecto Atractor.
(17/2/06) Datas dos testes: 6 de Março, 3 de Abril, 27 de Abril.
(14/2/06) Encontra-se disponível na Venda de Material (1º piso) uma cópia (a preto e branco) dos apontamentos.

Docentes

	Jorge Picado
	Gabinete: 6.5
	Horário de Atendimento: Segunda-feira (10.00-11.30), Quinta-feira (10.00-11.30)*
	telef.: 239791155
	e-mail: picado@mat.uc.pt
	URL: http://www.mat.uc.pt/~picado/

	* Ou outro dia e hora a combinar (por e-mail ou no final da aula)

Programa

I- Curvas em R³.
   1- Preliminares.
   2- O que é uma curva?: 
      Curvas de nível e curvas parametrizadas. 
      Curvas regulares.
      Comprimento de arco e parametrização 
      por comprimento de arco.
   3- Curvatura e torsão. Triedro de Frenet-Serret. 
      Fórmulas de Frenet-Serret.
   4- Curvas planas.
   5- Teorema Fundamental das Curvas.
   6- Algumas classes especiais de curvas.
   
II- Superfícies em R³.
   1- Preliminares.
   2- O que é uma superfície?: 
      Definição e exemplos. Mudança de parâmetros. 
      Aplicações diferenciáveis entre superfícies.
   3- Tangentes e normais. Orientabilidade.
   4- Algumas classes especiais de superfícies: 
      Superfícies de revolução, superfícies quádricas, 
      cilindros e cones generalizados, superfícies regradas.	
   5- Primeira forma fundamental. 
      Isometrias, aplicações equiareais e conformais.
      Aplicações ao cálculo de áreas, comprimentos e ângulos.
   6- A aplicação de Gauss e a segunda forma fundamental.
   7- O Teorema Egregium de Gauss.

Resumo: Em Geometria Diferencial estudam-se objectos de natureza geométrica --- curvas e superfícies --- usando as técnicas do cálculo diferencial e integral. A geometria diferencial clássica engloba o estudo das propriedades das curvas e superfícies no espaço euclidiano. Tem as suas origens no século XIX, com os primórdios da Análise, e nela se estudam as propriedades locais, isto é, aquelas que dependem somente do comportamento da curva ou superfície na vizinhança de um ponto. Por isso é usual chamar-lhe teoria local de curvas e superfícies. A geometria diferencial moderna estuda a influência das propriedades locais no comportamento de toda a curva ou superfície (teoria global de curvas e superfícies) e estende o estudo aos espaços não euclidianos e variedades de qualquer dimensão, baseando-se ainda, no entanto, nos métodos do cálculo diferencial e integral.
Neste curso abordamos os temas clássicos da geometria diferencial: curvas e superfícies no espaço. Estudamos assim resultados obtidos na sua quase totalidade no século XIX. Curvas e superfícies são objectos que qualquer pessoa pode ver, e muitas das questões que podem ser levantadas sobre estes objectos são óbvias e naturais. A geometria diferencial preocupa-se com a formulação matemática de algumas dessas questões e em tentar encontrar respostas para elas, usando as técnicas do cálculo diferencial. Num primeiro capítulo dedicamo-nos ao estudo das curvas. Num segundo (e último) capítulo estudamos a teoria local das superfícies, cuja génese se deve a Gauss com o seu famoso trabalho Disquisitiones generales circa superficies curvas (Comm. Soc. Gottingen Bd 6, 1823-1827). Tentamos seguir sempre a abordagem mais directa e simples a cada resultado, mantendo sempre os pré-requisitos no mínimo possível. Esta parece-nos ser a abordagem certa para um primeiro estudo da geometria diferencial, motivando os conceitos e os problemas e fundamentando a intuição.

Bibliografia

J. Picado, Apontamentos de Geometria Diferencial, 2005.

A. Gray, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, CRC Press, 1993 (53-01/GRA).
O. Neto, Tópicos de Geometria, Universidade Aberta, 1999 (51N/NET).
A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer-Verlag, 2001 (53-01/PRE).

M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, 1976 (53C/CAR).
W. Kuhnel, Differential Geometry: Curves, Surfaces, Manifolds, AMS, 2002 (53-01/KUH).

Avaliação

Da avaliação constam: 1. 3 testes 2. exame final 3. prova complementar Todos os alunos poderão participar nos testes, que se realizarão durante a aula teórico-prática. Cotação de cada teste: 1,5 valores. Cotação do exame: 20 valores. Nota final = max{ (15,5 / 20) nota exame + nota testes , nota exame } (arredondada às unidades)*

* Defesa de nota, através de prova complementar, para os alunos que obtenham nota final superior a 16. Datas dos testes: Primeiro teste: 6 de Março Segundo teste: 3 de Abril Terceiro teste: 27 de Abril Datas dos exames: Época normal: 5 de Julho de 2006 às 9 horas Época de recurso: 21 de Julho de 2006 às 9 horas.